Demostrando que $ \frac{1}{n}\int_{-\infty}^{\sqrt{n}w}k(v/\sqrt{n})\phi(v)dv$ es $O(n^{-1})$

Question

Supongamos que $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es infinitamente diferenciable. Defina \begin{equation} k(w)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{d}{dw}\left(\frac{h(w)-h(0)}{w}\right)&w\neq 0,\\ 2h''(0)&w=0. \end{array} \derecha. \Fin Ahora fija $w\in\mathbb{R}$ y que $\phi$ denotan la PDF normal estándar. La afirmación es: $$ R\equiv\frac{1}{n}\int_{-\infty}^{\sqrt{n}w}k(v/\sqrt{n})\phi(v)dv $$ es $O(n^{-1})$ .

No estoy tan seguro de la importancia de la forma funcional de $k$ como se especifica en (*). Una cosa cierta es que $k$ es continua.

Sé que debería demostrar que para hay un límite superior para $|\int_{-\infty}^{\sqrt{n}w}k(v/\sqrt{n})\phi(v)dv|$ para todos los grandes $n$ . Pero, ¿cómo lo hago? Siéntase libre de hacer cualquier suposición necesaria sobre $h$ y $k$ .

Gracias.

p.d.

Referencia lo anterior se expuso como una observación sin pruebas en Butler (2007). La expresión $R$ anterior era el $\int pdq$ parte en alguna integración por partes: $\int qdp=qp-\int pdq$ .

Answer 1

Utilizando el resultado ici se puede ver que $k\in C^\infty(\mathbb R)$ . Pero si esto es todo lo que tenemos, la afirmación es falsa: toma $k(w)=\exp(w^4)$ y entonces la integral es infinita.

Se necesitan algunas suposiciones sobre el comportamiento de $k$ en el infinito (o de $h$ de la que $k$ ). Por ejemplo, si $k$ está limitada por $M$ entonces $$\int_{-\infty}^{\sqrt{n}w}k(v/\sqrt{n})\phi(v)\,dv \le M\int_{-\infty}^{\infty} \phi(v)dv = M$$