¿Se ha intentado clasificar los groupoides finitos?

Question

Hace poco me topé con el Groupoide de Mathieu y me parecieron fascinantes.

Aparece como un subconjunto de $S_{13}$ que no es cerrado bajo multiplicación, pero resulta ser un groupoide con 13 objetos. El "primer" grupo simple finito esporádico $M_{12}$ aparecen como el Automorfismo de un punto. Además, se puede encontrar $M_{11}$ de esto.

Ahora que la gente ha clasificado los grupos simples finitos con décadas de esfuerzo, me pregunto si ha habido algún intento de clasificar los groupoides finitos.

(Quizá algunos resultados como éste ya estén implícitos en la clasificación de los grupos simples finitos, pero el groupoide $M_{13}$ parece tan increíble, que me picó la curiosidad).

Answer 1

Pedir que se clasifiquen los grupos finitos en general es, en esencia, una pregunta de cajón. Sabemos que todos los grupos finitos se "construyen" a partir de grupos finitos simples, pero incluso con esos grupos clasificados hay muchas formas distintas de combinar un conjunto dado de grupos para crear otros nuevos. Peor aún, la enumeración de grupos finitos parece sugerir lo que uno esperaría intuitivamente que fuera cierto: los que tienen menos estructura pueden pegarse de muchas más maneras que los que tienen una estructura rica y complicada.

Más explícitamente, se han clasificado los grupos de orden como máximo 2000 o así (véase, por ejemplo, este artículo de hace diez años de Besche, Eick y O'Brien:

http://www.math.auckland.ac.nz/~obrien/investigación/2000-anuncio.pdf )

¿Cuál es la conclusión? De los 49 910 529 484 grupos de orden como máximo 2000, una asombrosa 49 487 365 422 de ellos tienen orden 1024 - ¡casi todos los grupos no sólo son nilpotentes, sino que de hecho son grupos de 2!

Answer 2

El problema de clasificar groupoides finitos es esencialmente del mismo orden de dificultad que el de clasificar grupos finitos, cosa que, que yo sepa, estamos muy, muy lejos de hacer. (Existe un teorema de clasificación para los simple grupos. No sé qué se entiende por clasificar "subgrupos finitos").

La idea básica es que los groupoides son uniones disjuntas de groupoides conectados, y los groupoides conectados son equivalentes (en el sentido técnico de equivalencia categórica) a los grupos como categorías de 1 objeto. En concreto, si tenemos un grupoide conexo $G$ y elija un objeto $x$ entonces $G$ es equivalente al grupo de automorfismos $\hom_G(x, x)$ (que abreviaré como $G(x, x)$ .

Así, por ejemplo, afirmo que un groupoide finito conectado $G$ se clasifica por la cardinalidad de su conjunto de objetos $G_0$ junto con el tipo de isomorfismo de un grupo de automorfismo típico $G(x, x)$ . En otras palabras, si $G$ , $H$ son groupoides finitos conectados $G$ , $H$ y existe una biyección $F_0: G_0 \to H_0$ entre sus conjuntos de objetos y un isomorfismo de grupo $\phi: G(x, x) \to H(y, y)$ entre grupos de automorfismo típicos (suponiendo WLOG que $y = F_0(x)$ ), entonces $G$ y $H$ son isomorfos como groupoides.

La prueba es fácil. Sea $x_0 = x$ , $x_1, \ldots, x_n$ sean los objetos de $G$ . Para cada $j > 0$ elige al azar un morfismo $g_j: x_0 \to x_j$ y que $g_0 = 1_{x}$ ; del mismo modo, elija al azar un morfismo $h_j: F_0(x_0) \to F_0(x_j)$ (pero de nuevo con $h_0 = 1_{F_0(x)}$ . Definir un functor $F: G \to H$ ser $F_0$ a nivel de objeto. Para definir $F$ a nivel de morfismo, observe que cualquier morfismo $f: x_i \to x_j$ es de la forma $g_j \circ g \circ g_{i}^{-1}$ para algunos $g \in G(x, x)$ . Entonces defina $F(f)$ ser $h_j \circ \phi(g) \circ h_{i}^{-1}$ . A continuación, compruebe que esto define un functor y, de hecho, un isomorfismo entre $G$ y $H$ los detalles son sencillos.

Answer 3

@Fernando: @Todd: Me gustaría añadir algo al comentario de Todd sobre la clasificación de los groupoides hasta el isomorfismo. Ya se sabía que cualquier groupoide es la unión disjunta de sus componentes conectados; y que dado cualquier $cx \in Ob(G)$ para un groupoide conexo $G$ ithen $G$ s isomorfo a $G(x) * T$ donde $G(x)$ es el vértice, o grupo de objetos, en $x$ y $T$ es un "groupoide arbóreo", es decir $T(y,z)$ es un singleton para todo $y,z \in Ob(G)$ . Sin embargo, esta determinación depende de que primero se elija el objeto $x$ y luego para cada $ y \ne x$ en $Ob(G)$ eligiendo un elemento de $G(x,y)$ . Así que hay muchas opciones. Como señala Fernando, un grupoide uniconexo es, hasta la homotopía, "lo mismo que" un grupo.

Sin embargo, la relación de los groupoides con otras áreas de las matemáticas es interesante.

(fuente)

Ahora bien, lo que los objetos de un grupoide añaden a un grupo es una especie de carácter "espacial". Esto permite entre diferentes groupoides todo tipo de nuevas interacciones posibles, muy distintas de las de los grupos. Esto es especialmente relevante en situaciones del tipo van Kampen. Además, las elecciones implicadas en la determinación anterior implican que la clasificación de diagramas de groupoides no se reduce a la clasificación de diagramas de grupos.

Además, los morfismos de los grupoides tienen mucha más variedad que los de los grupos: para los grupoides tenemos equivalencias, fibraciones, morfismos de recubrimiento (relacionados con acciones sobre conjuntos), morfismos de cociente (factor por un subgrupoide normal), morfismos universales (identifican objetos de alguna manera), morfismos de órbita, .... Así que a menudo en las relaciones entre que la clasificación de groupoides individuales que deberíamos ver el beneficio de su uso. Esto refleja el punto de vista categórico.

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27 de marzo de 2015: Discutí este asunto en la década de 1980 con Alex Heller y comentó: "Hace mucho tiempo que hemos dejado atrás los días en que la clasificación de objetos hasta el isomorfismo era el único objeto de las matemáticas. Así, la clasificación de los espacios vectoriales es trivial; la clasificación de los espacios vectoriales con un morfismo es interesante, y es la forma canónica racional; la clasificación de los espacios vectoriales con dos endomorfismos es difícil; y con tres endomorfismos es desconocida."

Los groupoides internos a una categoría dada son de gran interés, en parte porque los groupoides generalizan las relaciones de equivalencia y, por tanto, la idea de cociente.

Un debate sobre mathoverflow en muchos puntos de base parece relevante.

2 May, 2020 En la década de 1980 tuve una discusión sobre el tema de "los grupoides se reducen a grupos" con Alex Heller. Él sostenía que la "clasificación hasta el isomorfismo" no siempre es el único objetivo que merece la pena. Después de todo, la clasificación de los espacios vectoriales complejos de dimensión finita es bien conocida, pero el álgebra lineal sigue estando en el programa de estudios. Además, la clasificación de dichos espacios vectoriales con un endomorfismo es interesante (¡formas normales!), la clasificación con dos endomorfismos es difícil, y con tres es desconocida. En el caso de los grupoides, ¡quizá el problema sea formular las preguntas interesantes! También hay que buscar ejemplos, como los groupoides de Conway (véase Wikipedia, por ejemplo), y estudiar la historia. A mí me interesaba en parte el hecho de que una formulación natural de "grupo de dimensión superior" diera como resultado simplemente "grupos abelianos" (Eckmann-Hilton, cf. grupos de homotopía), mientras que incluso los "groupoides bidimensionales" son intrigantemente complicados. ¿Qué conclusión cabe sacar de todo esto?

Answer 4

Todo lo que se ha escrito hasta ahora sobre que la clasificación de los groupoides finitos se reduce a la clasificación de los grupos finitos es cierto pero, creo, engañoso. Para producir realmente una lista de grupos finitos a partir de un groupoide finito $X$ hay que elegir un punto base en cada componente conexo de $X$ . Por ejemplo, para producir $M_{12}$ de $M_{13}$ debe elegir una de las siguientes opciones $13$ puntos.

Hay varias razones por las que no es deseable hacer este tipo de elecciones, y quizá la más práctica sea que a menudo no están disponibles una vez que se introduce una estructura adicional. Por ejemplo, dado un grupo $G$ es posible que desee estudiar groupoides equipados con un $G$ -acción. Estos son estrictamente más interesantes que las uniones disjuntas de grupos equipados con una $G$ -acción, y la razón es precisamente que un $G$ -no tiene por qué tener $G$ -puntos base invariantes.

Este es de hecho un problema en el presente ejemplo:

El groupoide de Mathieu $M_{13}$ está dotada de una acción de $\text{SL}_3(\mathbb{F}_3)$ que no fija ningún punto. Cuando se elige un punto base y se obtiene $M_{12}$ atrás pierdes esta acción.

Otro ejemplo de este fenómeno es el siguiente: el espacio de configuración $\text{Conf}_k(\mathbb{R}^2)$ de $k$ puntos ordenados en el plano es naturalmente un espacio Eilenberg-MacLane $K(P_k, 1)$ donde $P_k$ es el grupo trenzado puro. Por otro lado, $\text{Conf}_k(\mathbb{R}^2)$ tiene claramente una acción de $S_k$ en ella dada por la permutación de puntos. Esta acción no fija ningún punto base, por lo que no induce una acción sobre $P_k$ .

En hace inducen una acción sobre un groupoide equivalente a $P_k$ con $k!$ puntos dados tomando el groupoide fundamental de $\text{Conf}_k(\mathbb{R}^2)$ en un conjunto de puntos base que están fijados bajo la acción de $S_k$ . Una elección más complicada de puntos base fijados bajo la acción de $S_k$ se puede utilizar para dar un modelo de la operada pequeños discos como una operada en groupoides. Esta operada no puede simplificarse a una operada en grupos, a pesar de que todos los grupoides implicados son conexos, precisamente por cuestiones de puntos base (los puntos base deben elegirse no sólo de forma compatible con la $S_k$ -pero con composición operádica).

Edita: Una forma de medir el interés del $S_k$ acción sobre $\text{Conf}_k(\mathbb{R}^2)$ es que ni siquiera fija un punto base en el sentido homotópico coherente: equivalentemente, existe una secuencia exacta corta correspondiente

$$1 \to P_k \to B_k \to S_k \to 1$$

que no se divide. Por otra parte, como se señala en los comentarios, cualquier ampliación de $\text{SL}_3(\mathbb{F}_3)$ por $M_{12}$ debe ser trivial.

Answer 5

Todd Trimble respondió básicamente a la pregunta que usted formuló literalmente, pero parece que usted puede estar pensando en una cuestión ligeramente diferente, por ejemplo, ¿existe una clasificación de objetos como el groupoide de Mathieu, en la que pueda aparecer como un ejemplo excepcional?

Para más detalles, el groupoide Mathieu no es sólo un groupoide, sino que está dotado de una representación distinguida en un máquina de estados finitos . El conjunto de estados es el conjunto de etiquetados alcanzables de los vértices, y las operaciones de transición se describen mediante los generadores del agrupoide. En otras palabras, puede que lo que busques no sea una clasificación de agrupoides finitos (que, como mencionó Todd Trimble, equivale a una clasificación de grupos finitos), sino una clasificación de máquinas de estados finitos reversibles.

Dicho esto, parece poco probable que alguien haya hecho un intento concertado, incluso al nivel del programa de 2 pasos de Hölder, debido a la falta de estructura.