Demostrar que para todo natural $a$ , $2008\mid a^{251}-a$ .

Question

Cómo demostrar, que para todos los naturales $a$ coprimo a 2008 ocurre lo siguiente: $2008\mid a^{251}-a$ ?

Esto significa que $a_{251} \equiv_{{}\bmod 2008} a$ ¿verdad?

Es obvio que si $a\mid 2008$ .

En el otro caso estoy totalmente perdido.

Pensé en utilizar la función totiente de Euler, pero es obvio que no se aplica aquí, ya que $2008$ no es primo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $2008 = 8\cdot 251$ . Por el Teorema Chino del Resto es necesario y suficiente demostrar $a^{251}\equiv a\pmod 8$ y $a^{251}\equiv a\pmod {251}$ . La segunda es válida para todos los $a$ por el pequeño teorema de Fermat. La primera es cierta para impar $a$ o si $8\mid a$ pero por lo demás no lo es.