Integral de una función con producto interior exponenciado

Question

Sea $f:\Bbb R^n\to \Bbb R^n$ sea una función continua tal que $\int_{\Bbb R^n}|f(x)|dx\lt\infty$ . Sea $A$ ser un verdadero $n\times n$ matriz invertible y para $x,y\in\Bbb R^n$ , dejemos que $\langle x,y\rangle$ denotan el producto interior estándar en $\Bbb R^n$ . Entonces

$$\int_{\Bbb R^n}f(Ax)e^{i\langle y,x\rangle}\,dx\overset{?}{=}\ \begin{array}{l} (1)\ \int_{\Bbb R^n} f(x) e^{i\langle(A^{-1})^T y,x\rangle} \frac{dx}{|\det A|} \\ (2)\ \int_{\Bbb R^n} f(x) e^{i\langle A^T y,x\rangle} \frac{dx}{|\det A|}\\ (3)\ \int_{\Bbb R^n}f(x)e^{i\langle(A^T)^{-1} y,x\rangle}\,dx \\ (4)\ \int_{\Bbb R^n}f(x)e^{i\langle A^{-1} y,x\rangle}\frac {dx}{|\det A|} \end{array}$$

Intento:

Sea $Ax=X\Rightarrow x=A^{-1}X$ entonces $dx=\frac {dX}{|\det A|}$ . Usando todo esto, tenemos:

$\int_{\Bbb R^n}f(Ax)e^{i\langle y,x\rangle}dx=\int_{\Bbb R^n}f(X)e^{i\langle y,A^{-1}X\rangle}\frac{dX}{|\det A|}=\int_{\Bbb R^n}f(X)e^{i\langle (A^{-1})^Ty,X\rangle}\frac{dX}{|\det A|}$ .

Ahora bien, si volvemos a poner $x=X\Rightarrow dx=dX$ entonces obtenemos la última expresión como,

$\int_{\Bbb R^n}f(x)e^{i\langle(A^{-1})^T y,x\rangle}\frac {dx}{|\det A|}$ . Eso significa que 1) es cierto.

Answer 1

Para $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ , dejemos que $\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle$ sea el producto punto euclídeo sobre $\mathbb{R}^n$ . Dada una función $f \in \mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n)$ puede definir su Transformada de Fourier $\hat{f}$ como sigue :

$$ \forall \boldsymbol\xi \in \mathbb{R}^n, \, \hat{f}(\boldsymbol\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) e^{-2i\pi \left\langle \mathbf{x},\boldsymbol\xi \right\rangle} \, d \mathbf{x}. $$

Consideremos ahora un $n \times n$ matriz real invertible $\mathbf{A} \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ . La cartografía $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}$ es un $\mathcal{C}^1$ difeomorfismo de $\mathbb{R}^n$ y el Teorema del cambio de variable da, para todos $\boldsymbol\xi \in \mathbb{R}^n$ :

$$ \hat{f}(\boldsymbol\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{A}\mathbf{x}) e^{-2i\pi \left\langle \mathbf{A}\mathbf{x},\boldsymbol\xi \right\rangle} \vert \det \mathbf{A} \vert \, d \mathbf{x}. $$

Dado que $\left\langle \mathbf{A}\mathbf{x},\boldsymbol\xi \right\rangle = \left\langle \mathbf{x},\mathbf{A}^{\top}\boldsymbol\xi \right\rangle$ , tenemos ::

$$ \hat{f}(\boldsymbol\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{A}\mathbf{x}) e^{-2i\pi \left\langle \mathbf{x},\mathbf{A}^{\top}\boldsymbol\xi \right\rangle} \vert \det \mathbf{A} \vert \, d \mathbf{x}. $$

Como consecuencia :

$$ \int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{A}\mathbf{x}) e^{-2i\pi \left\langle \mathbf{x}, \boldsymbol\xi \right\rangle} \, d \mathbf{x} = \frac{1}{\vert \det \mathbf{A} \vert} \hat{f}\big( (\mathbf{A}^{\top})^{-1} \boldsymbol\xi \big). $$