Condición para que una ecuación cúbica tenga una sola raíz

Question

Si una ecuación cúbica

$$ f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$$

está dada, ¿cuál es la condición para que la ecuación sólo tenga una única raíz (contando las raíces múltiples como una)

Answer 1

No hay una condición única: como una función cúbica siempre tiene al menos una raíz real,

• o bien $f'(x)\le 0$ ,
• o $f(x)$ tiene una raíz triple, es decir $f(x)=a(x-\alpha)^3$ ,
• o $f'(x)>0$ por lo que la función tiene un máximo y un mínimo, y ambos extremos tienen el mismo signo,