Condición para que una ecuación cúbica tenga una sola raíz

Question

Si una ecuación cúbica

$$ f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$$

está dada, ¿cuál es la condición para que la ecuación sólo tenga una única raíz (contando las raíces múltiples como una)

Answer 1

Viendo que hay respuestas que implican la derivada que pierden el punto: Se trata del Discriminante $ \Delta $ . Cuando $ \Delta \le 0 $ tenemos una raíz real.
Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Nature_of_the_roots

Answer 2

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \implies f'(x)=3ax^2+2bx+c >0 \forall x \in R, ~if~ b^2 < 3 ac.$$ Una función monotónicamente creciente pr decreciente tiene como máximo una raíz. También $f(-\infty) f(\infty) <0$ $f(x)=0$ tiene al menos una raíz real por IVT. Entonces, cuando $b^2<3ac$ la cúbica dada sólo tiene una raíz real.

Answer 3

Puedes mirar su discriminante, que es cero si y sólo si la ecuación cúbica tiene una raíz múltiple.

Para la ecuación $ax^3+ bx^2 + cx + d = 0$ el discriminante es $$ 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2. $$ Por lo tanto, la condición que busca es $$ 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2=0. $$

Answer 4

En referencia a esta imagen de un cúbico específico

Los parámetros geométricos etiquetados en el diagrama, en términos de coeficientes, son

$$\begin{align*} x_N &= \dfrac{-b}{3a} \quad \text{(abscissa of inflection point)}\\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} = x_N^2 - \dfrac{c}{3a} \quad \text{(x distance squared from inflection point to turning point)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2} - \dfrac{bc}{3a} + d \quad \text{(ordinate of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \text{(y distance from inflection point to turning point)} \\ \end{align*}$$

La cúbica puede intersecar el $x$ -sólo una vez, en las siguientes circunstancias:

$$\begin{align*} h &= 0\\ \\ h &\in i\mathbb{R}\setminus 0\\ \\ \mathrm{or}\;\left|\dfrac{-y_N}{h}\right| &> 1 \\ \end{align*}$$

Para las dos primeras condiciones, a $0$ o altura imaginaria, $h$ significa que el cúbico no tendrá los dos puntos de inflexión, por lo que nunca podría cruzar el $x$ -más de una vez.

Para la tercera condición, la ordenada del punto de inflexión de la cúbica, $y_N$ está más lejos del $x$ -que la altura, $h$ por lo que el cúbico nunca podría cruzar el $x$ -más de una vez.

Answer 5

Considere $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$ con $a>0$ WLOG. Entonces existe una solución única siempre que $$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$ tiene signo casi positivo, es decir, cuando $b^2-3ac\le 0$ -- o si $b^2-3ac>0,$ entonces debemos tener que $$f(r_1)f(r_2)\ge 0,$$ donde $r_1,r_2$ son las raíces de la ecuación cuadrática $f'(x)=0.$