Descomposición de una matriz asimétrica

Question

Estoy intentando separar la parte simétrica de la $XY^T$ matriz para que pueda tener una matriz $\hat{X}{\hat{Y}}^{T}$ sin simetrías. Para ello, eliminé la parte simétrica y obtuve una simetría sesgada $A$ ahora quiero descomponer esta matriz simétrica sesgada $A = CD^T - C^T D$ tal que $A = \hat{X}{\hat{Y}}^{T}$ . ¿Qué tipo de descomposición puedo utilizar? ¿La descomposición será única? Soy nuevo en la descomposición de matrices, cualquier ayuda es realmente apreciada.

Actualización: $X, \hat{X}, Y, \hat{Y}$ son reales y dispersos, y $A, B, C, D$ son reales

Answer 1

La pregunta es un poco abierta, pero permítame responder a dos de sus subpreguntas.

La descomposición no será única, a menos que restrinjas mucho la clase de matrices que estás mirando. Si $A=\hat X\hat Y^T$ y $Q$ es una matriz ortogonal (es decir $QQ^T=I$ ), entonces también $A=(\hat XQ)(\hat YQ)^T$ . Si $(\hat X,\hat Y)\mapsto(\hat X Q,\hat Y Q)$ es un cambio de descomposición admisible depende del contexto.

Si está dispuesto a trabajar con matrices complejas (las entradas son números complejos en lugar de reales), observe que $iA$ es Hermiteana y por lo tanto se puede descomponer como $iA=U^{-1}DU$ donde $U$ es unitario y $D$ es real y diagonal. Esto le da $A=-iU^{-1}DU$ .

Al final, lo conveniente depende del contexto. ¿Qué pretende conseguir con su descomposición?