Tengo un proceso estacionario $\{u_n\}$ y tengo una función $f:\mathbb{R}^L\to \mathbb{R}^+$ . Quiero evaluar el siguiente límite $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(f(\mathbf{u}_{k}))$$ donde $\mathbf{u}_k=\begin{bmatrix} u_k & u_{k-1} & \cdots & u_{k-L} \end{bmatrix}$ y $g$ es una función suave de valor real, es decir $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ .
Mi pregunta es
¿Puedo utilizar Teorema ergódico de Birkhoff aquí para concluir que $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(f(\mathbf{u}_{k}))\stackrel{a.s.}{=}\mathbb{E}(g(f(\mathbf{u}_L)))?$$
Sé (al menos según mis conocimientos) que si hubiera sido $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(f({u}_{k}))$ la respuesta sería sí, pero no tengo muchos conocimientos de teoría ergódica para sacar conclusiones sobre este problema.
Perdonen mi falta de conocimientos en este tema y por eso hago esta pregunta, aunque quizás sea trivial para mucha gente de aquí; pero necesito entender esto. También sería genial si alguien puede amablemente dar alguna buena referencia para entender este teorema en el contexto de este problema (sé teoría de la probabilidad básica y procesos estocásticos y estoy aprendiendo teoría de la medida ahora).
