Ordenación temporal y derivada temporal en el formalismo integral de trayectorias y en el formalismo de operadores

Question

En el formalismo de operadores, por ejemplo, una función de Green de 2 puntos ordenada en el tiempo se define como

$$\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{op}=\theta(x_1-x_2)\phi(x_1)\phi(x_2)+\theta(x_2-x_1)\phi(x_2)\phi(x_1),$$

donde los subíndices "op" y "pi" se refieren al formalismo integral del operador y de la trayectoria, respectivamente. Ahora bien, si se toma una derivada temporal de la misma, el resultado será

$$\frac{\partial}{\partial x_1^0}\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{op}=\langle\mathcal{T}{\frac{\partial \phi(x_1)}{\partial x_1^0}}\phi(x_2)\rangle_{op}+\delta(x_1^0-x_2^0)[\phi(x_1),\phi(x_2)],$$

la función delta procede de diferenciar las funciones theta. Esto significa que la derivada temporal no conmuta con la ordenación temporal.

Si consideramos el formalismo integral de trayectoria, la función de Green ordenada en el tiempo se define como

$$\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{pi}=\int\mathcal{D}\phi\phi(x_1)\phi(x_2)e^{iS(\phi)}.$$

Por supuesto

$$\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{op}=\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{pi},$$

como se demuestra en cualquier libro de texto de QFT. Sin embargo, en el caso de la integral de trayectoria, la derivada temporal conmuta con la ordenación temporal, porque no tenemos nada parecido a una función theta, por tanto

$$\frac{\partial}{\partial x_1^0}\int\mathcal{D}\phi\phi(x_1)\phi(x_2)e^{iS(\phi)}=\int\mathcal{D}\phi\frac{\partial}{\partial x_1^0}\phi(x_1)\phi(x_2)e^{iS(\phi)}.$$

He buscado un poco en Google y he descubierto que para el caso de la integral de trayectoria el producto ordenado en el tiempo se llama " $\mathcal{T^*}$ producto" y operador caso sólo " $\mathcal{T}$ producto".

No estoy tan interesado en lo que está causando la diferencia (todavía explicaciones sobre esto son bienvenidos), porque ya puedo vagamente ver que es debido a algún tipo de ambigüedad en la definición del producto de los campos en el mismo tiempo. La pregunta que me interesa es, ¿cuál es la correcta para calcular los diagramas de Feynman?

He encontrado un caso en el que ambos dan el mismo resultado, es decir, QED escalar (c.f. Itzykson & Zuber, sección 6-1-4 y esta entrada ), pero ¿es siempre así? Si estas dos formulaciones no son efectivamente equivalentes, entonces parece que cada vez que escribimos algo como $\langle\partial_0\phi\cdots\rangle$ tenemos que especificar si es en el sentido de la definición de la integral de trayectoria o de la definición del operador.

EDITAR: Por mucho que me guste la respuesta de user1504, después de pensar y leer un poco más no creo que la continuación analítica sea todo el misterio. En Peskin & Schroeder cap 9.6 consiguen utilizar la integral de trayectoria para obtener un resultado equivalente a la aproximación del operador, sin ninguna referencia a la continuación analítica. Dice así: Consideremos una $T$ -producto para el campo libre KG

$$\langle T\{\phi(x)\phi(x_1)\}\rangle=\int\mathcal{D}\phi\phi(x)\phi(x_1)e^{iS(\phi)}.$$ Aplicando la ecuación de Dyson-Schwinger, obtenemos

$$\int\mathcal{D}\phi(\partial^2+m^2)\phi(x)\phi(x_1)e^{iS}=-i\delta^4(x-x_1),$$

entonces simplemente asumen la $\partial^2$ conmutan con la integración de trayectorias (lo que ya es raro según nuestra discusión) y concluyen

$$(\partial^2+m^2)\int\mathcal{D}\phi\phi(x)\phi(x_1)e^{iS}=(\partial^2+m^2)\langle T\{\phi(x)\phi(x_1)\}\rangle=-i\delta^4(x-x_1).$$

Este es justo el resultado que da el planteamiento del operador, en el que $\delta(x^0-x_1^0)$ proviene de $\theta$ función. Dados mis escasos conocimientos sobre el tema, esta coherencia me parece casi un milagro. ¿Qué hay tan perverso detrás de estas matemáticas?

Respuesta a @drake : Si $a$ es un infinitésimo positivo, entonces $$\int \dot A(t) B(t) \,e^{iS}\equiv\int D\phi\, {A(t+a)-A(t)\over a}B(t)\,e^{iS}=\frac{1}{a}\langle T\{A(t+a)B(t)\}\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle,$$

observe que el segundo término tiene una ambigüedad de ordenación de la integral de trayectoria (digamos $A=\dot{\phi},B=\phi$ ), y podemos hacerlo en el orden que queramos eligiendo una discretización temporal adecuada, c.f. el post de Ron Maimon citado por drake. Teniendo esto en cuenta procedemos:

$$\frac{1}{a}\langle T\{A(t+a)B(t)\}\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle\\=\frac{1}{a}\theta(a)\langle A(t+a)B(t)\rangle+\frac{1}{a}\theta(-a)\langle B(t)A(t+a)\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle\\=\frac{1}{a}\theta(a)\langle A(t+a)B(t)\rangle+\frac{1}{a}[1-\theta(a)]\langle B(t)A(t+a)\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle\\=\frac{\theta(a)}{a}\langle [A(t+a),B(t)]\rangle+\frac{1}{a}[\langle B(t)A(t+a)\rangle-\langle A(t)B(t)\rangle].$$

Aprovechando ahora la ambigüedad de ordenación del último término para hacerlo $\langle B(t)A(t)\rangle$ (esto equivale a definir $A$ utilizando la discretización hacia atrás, digamos $A=\dot{\phi}(t)=\frac{\phi(t+\epsilon^-)-\phi(t)}{\epsilon^-}$ ) y, por último:

$$\frac{\theta(a)}{a}\langle [A(t+a),B(t)]\rangle+\frac{1}{a}\langle B(t)[A(t+a)-A(t)\rangle]\to \frac{1}{2a}\langle [A(t),B(t)]\rangle+\langle B(t)\dot{A}(t)\rangle.$$

(Aquí de nuevo un paso muy dudoso, para conseguir $\frac{1}{2a}$ tenemos que asumir $\theta(a\to 0^+)=\theta(0)=\frac{1}{2}$ pero esto no es cierto porque $\theta$ es discontinua).

Sin embargo, por otro lado, dado que $a$ se definió como un infinitésimo positivo, al principio podríamos haber escrito

$$\frac{1}{a}\langle T\{A(t+a)B(t)\}\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle=\frac{1}{a}\langle A(t+a)B(t)\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle,$$

entonces toda la derivación anterior no funciona. Seguro que hay más paradojas si seguimos haciendo estas manipulaciones.

Answer 1

EDIT: Dejo esto como lectura de fondo a la respuesta de @drake. (El punto de la siguiente es que la integral de trayectoria de hecho da la ordenación temporal correcta, por lo que está produciendo la correcta $\theta$ -función ponderada, sumas ordenadas en el tiempo, que deben tenerse en cuenta al diferenciar su salida).

Los dos formalismos son equivalentes; si no dan el mismo resultado, algo falla en el cálculo. Para ver esto hay que entender una sutileza que no suele explicarse bien en los libros de texto, a saber, que la integral de trayectoria no se define simplemente tomando el límite de un montón de integrales de la forma $\int_{\mbox{lattice fields}} e^{iS(\phi)} d\phi$ .

El problema es que estas integrales de dimensión finita no son absolutamente convergentes, porque $|e^{iS(\phi)}| = 1$ . Para definir incluso la integral de camino de celosía en la firma de Minkowski, hay que especificar alguna información adicional, para decir exactamente lo que se entiende por la integral.

En QFT, la información adicional que se desea es que la integral de trayectoria calcule el núcleo del operador de evolución temporal $e^{iH\delta t}$ que es una función analítica de $\delta t$ . Este hecho suele expresarse diciendo que la integral de trayectoria de firma Minkowski es la continuación analítica de una integral de trayectoria de firma euclidiana: La integral $n$ -funciones puntuales $E(y_1,...,y_n)$ definido por

$E(y_1,...,y_n) = \int \phi(y_1)...\phi(y_n) e^{-S_E(\phi)} d\phi$

son funciones analíticas de los puntos euclídeos $y_i \in \mathbb{R}^d$ . Esta función $E$ se puede continuar con una función $A(z_1,...,z_n)$ de $n$ variables complejas $z_i \in \mathbb{C}^d$ . Esta función analítica $A$ no se extiende a todo el plano; tiene singularidades y varias ramas diferentes. Cada rama corresponde a una elección diferente de ordenación temporal. Una rama es la correcta, otra es la ordenación temporal de "signo incorrecto". Otras opciones tienen signos erróneos sólo en algunos subconjuntos de puntos. Si restringe $A$ al conjunto $B$ de puntos límite de la rama correcta, obtendrás la firma de Minkowski $n$ -funciones puntuales $A|_B = M$ donde $M(x_1,...,x_n) = \langle \hat{\phi}(x_1)...\hat{\phi}(x_n)\rangle_{op}$ y el $x_i$ son puntos del espacio de Minkowski.

En la teoría de perturbaciones, la mayor parte de estos detalles están ocultos, y lo único que hay que recordar es que la $+i\epsilon$ la prescripción selecciona el orden temporal correcto.

Answer 2

Buena pregunta. Me hizo pensar. Aquí está la respuesta:

• En sentido estricto, no es posible calcular $\theta(t-t')\langle \dot\phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\dot\phi (t)\rangle$ ( notación abreviada: $\langle\,\equiv \langle 0 |\,$ . Nótese también que estoy omitiendo los argumentos espaciales de los campos ) usando la versión Lagrangiana de la integral de trayectoria, porque para derivar esto, debemos suponer que las inserciones (factores multiplicadores de $e^{iS}$ en el integrando de la integral de trayectoria) son funcionales de los campos en un momento dado (es decir, son independientes de los momentos $\pi$ ). Por lo tanto,

$$\partial_t \,\left[\theta(t-t')\langle \phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\phi (t)\rangle\right]=\lim_{a\to 0}{1\over a}\left[\theta(t+a-t')\langle \phi(t+a)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t-a)\langle \phi (t')\phi (t+a)\rangle - \theta(t-t')\langle \phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\phi (t)\rangle\right]=\lim_{a\to 0}{1\over a}\int D\phi\, (\phi(t+a)\phi(t')-\phi(t)\phi(t'))\,e^{iS}=\int D\phi\, \dot\phi(t)\phi(t')\,e^{iS}$$

que coincide con $\theta(t-t')\langle \dot\phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\dot\phi (t)\rangle$ sólo si $t\neq t'$ . $^1$

• Ejemplo. Sea $A(t)$ y $B(t)$ dos funcionales en un momento dado, entonces se puede comprobar que

$$\int \dot A(t) B(t) \,e^{iS}=\langle\dot A(t)B(t)\rangle+\lim_{a\to 0}{1\over 2a}\langle [A(t),B(t)]\rangle$$

El último término representa el delta de Dirac que encontraste después de derivar la función escalón.

• Aunque su pregunta es muy interesante, creo que su ejemplo es desafortunado, ya que $\delta (t-t')[\phi(x),\phi(x')]=\delta (t-t')[\phi(t,\vec x),\phi(t,\vec x')]=0$ . Permíteme elegir un ejemplo en el que este último conmutador es distinto de cero para mostrar cómo la derivada temporal de una función de correlación se divide en los dos términos que mencionas: $\partial_t \langle \, T\, \phi(t)\,A(t')\,\rangle$ donde $A$ es una función de campos y momentos en un momento dado. Hagamos una variación general (que no modifica la medida de la integral de trayectoria) de la integral de trayectoria hamiltoniana o espacio-fase ( $S=\int dt\, \dot \phi\,\pi-H \, $ ). Dado que el momento es una variable de integración, la integral no puede cambiar:

$$0={\delta\over \delta \pi (t)}\int D\phi D\pi \, A(t')\,e^{iS}\,\delta \pi=\\ \int D\phi D\pi\, \left( {\delta A(t')\over \delta \pi (t)}+A(t')i\dot\phi (t)-A(t')(-i){\delta H (t)\over \delta \pi (t)}\right)\,e^{iS}\,\delta \pi$$

En $\delta \pi$ es una variación general y:

$${\delta A(t')\over \delta \pi (t)}=\delta(t-t')(-i)\,[\phi(t),A(t')]$$ $${\delta H (t)\over \delta \pi (t)}=-i\,[\phi(t), H]$$

obtenemos:

$$\partial_t \langle \, T\, \phi(t)\,A(t')\,\rangle=i\langle \, T\, [\phi(t),H]\,A(t')\,\rangle+\delta (t-t')\,\langle \, [\phi(t),A(t')]\,\rangle \\ =\theta(t-t')\langle \, \dot\phi(t)\,A(t')\,\rangle+\theta(t'-t)\langle \, A(t')\,\dot\phi(t)\,\rangle+\delta (t-t')\,\langle \, [\phi(t),A(t')]\,\rangle$$

Si, por ejemplo, $A(t')=\pi (t',\vec x')$ el último término da $i\,\delta ^4 (x-x')$ .

$\\$

Por si no está suficientemente claro, permítanme señalar que las derivadas conmutan con la medida integral de la trayectoria. El punto clave es que

$$\partial_t \,\left[\theta(t-t')\langle \phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\phi (t)\rangle\right]=\int D\phi\, {\phi(t+\epsilon^+)-\phi (t)\over \epsilon ^+}\phi(t')\,e^{iS}\neq\theta(t-t')\langle \dot\phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\dot\phi (t)\rangle$$

Además, me gustaría destacar que ${\delta H (t)\over \delta \pi (t)}$ es un funcional en un momento dado mientras que $\dot\phi (t)$ en el integrando de una integral de trayectoria debe interpretarse como ${\phi(t+\epsilon^+)-\phi (t)\over \epsilon ^+}$ es decir, como diferencia entre campos evaluados en diferente veces.

---

$^1$ Nótese que la derivada puede definirse de diferentes maneras dando lugar a diferentes ordenaciones de los operadores, véase la excelente respuesta de Maimon Formulación integral de la mecánica cuántica cuidado con alguna errata en las expresiones: donde dice $x(t)p(t)$ debe decir $p(t)x(t)$ .

---

EDIT: Para derivar algunos de los resultados anteriores, hay que tomar $\theta (0)=1/2$ . Sin embargo, se puede proceder de forma ligeramente distinta para evitar esa elección (que, en mi opinión, es totalmente acertada). Por ejemplo,

$$\int \dot A(t) B(t) \,e^{iS}=\int {A(t+a)-A(t)\over a } B(t+a/2) \,e^{iS}=\langle\dot A(t)B(t)\rangle+\lim_{a\to 0}{1\over a}\langle [A(t),B(t)]\rangle$$