¿Cómo actúa el operador de momento sobre el estado kets?

Question

He estado revisando algunos problemas en Sakurai's QM moderno y en un momento dado tener que calcular $\langle \alpha|\hat{p}|\alpha\rangle$ donde todo lo que sabemos sobre el estado $|\alpha\rangle$ es que $$\langle x|\alpha\rangle=f(x)$$ para alguna función conocida $f$ . ( $|\alpha\rangle$ es un paquete de ondas gaussianas). Sakurai dice que esto viene dado por:

$$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx.$$

Me pregunto cómo llegamos a esta expresión. Sé que podemos expresar

$$|\alpha\rangle =\int dx|x\rangle\langle x|\alpha\rangle$$

y

$$\langle\alpha|=\int dx\langle\alpha|x\rangle\langle x|,$$

así que mi pensamiento es que tenemos:

$$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle =\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle, $$

y si podemos "conmutar $|x\rangle$ y $\hat{p}$ esto se convertiría: $$\iint dxdx'\langle\alpha |x\rangle\hat{p}\langle x|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle,$$ que es el resultado deseado ya que $$\langle x|x'\rangle=\delta(x-x').$$ ¿Es válido este planteamiento?

Creo que mi pregunta se reduce a: ¿El operador $\hat{p}$ actuar sobre la base kets $|x\rangle$ o en sus coeficientes? En este último caso, si tuviéramos algún estado $|\psi\rangle = |x_0\rangle$ para alguna posición $x_0$ entonces diríamos que para este estado $$\langle p\rangle =\langle x_0|\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)|x_0\rangle = 0$$ ya que el coeficiente único es $1$ y la derivada de $1$ es $0$ ?

Answer 1

Yo diría que una parte de la pregunta sigue sin respuesta. Sería cómo el operador $\hat{p}$ actúa sobre un estado que no es una combinación lineal trivial de los estados propios de posición.

Supongamos que intentamos calcular $$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle, $$ donde $|n\rangle$ es un estado que puede representarse como una combinación lineal de estados $|x\rangle$ . Para captar la intuición podemos comprobar el caso de $$\hat{x}|n\rangle=\hat{x} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle, $$ donde la respuesta es muy sencilla, ya que el $|x\rangle$ es el estado propio del $\hat{x}$ con valor propio $x$ $$\hat{x}|n\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{x}|x'\rangle = \int dx' \langle x'|n\rangle x'|x'\rangle. $$ Aplicando el mismo razonamiento al caso inicial, obtenemos $$\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{\frac{\partial}{\partial x}}|x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(|x'+h\rangle - |x'\rangle\Big), $$ donde simplemente utilicé la definición del derivado en un vector. Entonces simplemente separamos la integral en dos partes, y redefinimos las variables de integración para poder extraer el estado $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx' \langle x'|n\rangle|x'+h\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big), $$ $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx'' \langle x''-h|n\rangle|x''\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big), $$ $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int dx' \Big(\langle x'-h|n\rangle - \langle x'|n\rangle\Big)|x'\rangle, $$ pero ésta es la derivada de los coeficientes $$=-\int dx' \Big(\frac{\partial\langle x|n\rangle}{\partial x}\Big)\Bigg|_{x = x'}|x'\rangle, $$ o de forma más familiar con el función de onda definido como $\langle x|n\rangle = \psi_{n}(x)$ $$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \psi_{n}(x') |x'\rangle = -\int dx' \psi'_{n}(x') |x'\rangle. $$ Por lo tanto actuando con la derivada espacial sobre un estado se obtiene la derivada de una función de onda, o lo que es lo mismo, la derivada del coeficiente que te da el mapeo desde un estado que estás diferenciando a la base de posición.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ .

Pon esto en la fórmula dada:

$$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx,$$

que da:

$$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\hat{p}\langle x|\alpha\rangle dx.$$

Ahora bien, es un resultado bien conocido en mecánica cuántica (relación de completitud) que:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1,$$

Así que cuando ponemos esto en la expresión para $\langle p\rangle$ obtenemos:

$$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$$

que teníamos que probar.

También puede empezar con

$$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$$

colocar la relación de integridad

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1$$

y sustituir $\hat{p}$ por $-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ .