¿Cómo actúa el operador de momento sobre el estado kets?

Question

He estado revisando algunos problemas en Sakurai's QM moderno y en un momento dado tener que calcular $\langle \alpha|\hat{p}|\alpha\rangle$ donde todo lo que sabemos sobre el estado $|\alpha\rangle$ es que $$\langle x|\alpha\rangle=f(x)$$ para alguna función conocida $f$ . ( $|\alpha\rangle$ es un paquete de ondas gaussianas). Sakurai dice que esto viene dado por:

$$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx.$$

Me pregunto cómo llegamos a esta expresión. Sé que podemos expresar

$$|\alpha\rangle =\int dx|x\rangle\langle x|\alpha\rangle$$

y

$$\langle\alpha|=\int dx\langle\alpha|x\rangle\langle x|,$$

así que mi pensamiento es que tenemos:

$$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle =\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle,$$

y si podemos "conmutar $|x\rangle$ y $\hat{p}$ esto se convertiría: $$\iint dxdx'\langle\alpha |x\rangle\hat{p}\langle x|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle,$$ que es el resultado deseado ya que $$\langle x|x'\rangle=\delta(x-x').$$ ¿Es válido este planteamiento?

Creo que mi pregunta se reduce a: ¿El operador $\hat{p}$ actuar sobre la base kets $|x\rangle$ o en sus coeficientes? En este último caso, si tuviéramos algún estado $|\psi\rangle = |x_0\rangle$ para alguna posición $x_0$ entonces diríamos que para este estado $$\langle p\rangle =\langle x_0|\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)|x_0\rangle = 0$$ ya que el coeficiente único es $1$ y la derivada de $1$ es $0$ ?

Answer 1

En mi opinión, las manipulaciones que implican $\hat p$ y posición de bras y kets se hacen más fácilmente considerando la acción de $\hat p$ sobre la posición sujetadores que es simplemente $$\boxed{ \vphantom{\begin{array}{}make\\the box\\taller\end{array}} \quad\,\,\, \langle x|\hat p=-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|. \quad\,\,\,} \tag 1$$

Se puede obtener fácilmente viendo que para cualquier estado $|\psi\rangle$ con función de onda de representación de posición $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ la acción del operador de momento sobre el estado da una derivada en la función de onda. Es decir, $$\langle x|\hat p|\psi\rangle =-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|\psi\rangle.$$ Dado que esta ecuación es válida para todos los estados $|\psi\rangle\in\mathcal H$ puede "cancelar $|\psi\rangle$ fuera". (Más técnicamente, ya que la acción de los sujetadores $\langle x|\hat p$ y $-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|$ es igual para todos los vectores, deben ser iguales como funcionales lineales).

Answer 2

Ya hay muchas buenas respuestas. Esta respuesta es básicamente una versión ampliada de la respuesta de Emilio Pisanty.

1. Empecemos recordando la convención estándar para escribir la función de onda de posición $$\psi(x)~=~\langle x | \psi \rangle \tag{1}$$ como una superposición con un estado de sujetador de posición $\langle x |$ .

2. En RCC $$[\hat{x},\hat{p}]~=~i\hbar{\bf 1}\tag{2}$$ es el primer principio de la cuantización canónica.

3. La representación de Schrödinger de la posición $$\hat{x}~=~x , \qquad \hat{p}~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\tag{3}$$ es la representación más común de la RCC (2), aunque dista mucho de ser única, cf. p.ej. este post de Phys.SE. Sin embargo, véase también el Teorema de Stone-Von Neumann .

4. Es importante darse cuenta de que se entiende implícitamente que los operadores (3) actúan sobre sujetadores (a diferencia de kets ). (Sin embargo, véase la ec. (6) más adelante). Por lo tanto, es más apropiado escribir (3) como $$\langle x |\hat{x}~=~x\langle x | , \qquad \langle x |\hat{p} ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \langle x |}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon}.\tag{4}$$

5. Obsérvese que la representación de Schrödinger de posición (4) sobre bras realiza la RCC (2) $$\begin{align}\langle x| & [\hat{x},\hat{p}]\cr ~=~& \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\left\{ x\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon} -\frac{ ( x+\varepsilon)\langle x+\varepsilon |- x\langle x |}{\varepsilon}\right\}\cr ~=~&i\hbar \langle x | ~, \tag{5}\end{align}$$ con el signo correcto, como debe ser.

6. Nótese que la representación de Schrödinger de posición (4) sobre bras y la convención (1) implican las fórmulas estándar

$$\hat{x}\psi(x)~=~x\psi(x) , \qquad \hat{p}\psi(x) ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi(x)}{\partial x}. \tag{6}$$

7. Obsérvese, en particular, que si se insiste en actuar sobre kets (a diferencia de sujetadores ), entonces la representación de Schrödinger de posición viene con la frente a signo: $$\hat{x}|x\rangle ~=~|x\rangle x , \qquad \hat{p}|x\rangle ~=~i\hbar\frac{\partial |x\rangle}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}i\hbar \frac{ |x+\varepsilon \rangle- | x\rangle }{\varepsilon}.\tag{7}$$

Answer 3

En cuanto a la pregunta

Creo que mi pregunta se reduce a si $\hat p$ actuar sobre la base kets $|x\rangle$ o en sus coeficientes?

uno puede identificar con seguridad que está confundido sobre algo, pero es más difícil averiguar cuál es realmente la pregunta. Así que permítanme repetir algunas cosas básicas aquí - Estoy seguro de que usted debe estar confundido acerca de uno de ellos, a pesar de su carácter básico.

El símbolo $\hat p$ es un operador. Significa un objeto que actúa sobre cualquier ket vector y le da otro (o el mismo) ket vector. El mapa debe ser lineal, etc. Así que $\hat p$ seguramente actúa sobre vectores, no sobre "coeficientes".

En cambio, cuando actúa sobre un vector de base como $|x\rangle$ el resultado puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de la misma base, $$\hat p |x\rangle = \int dx' f_x(x') |x'\rangle$$ con unos coeficientes $f_x(x')$ . Cada vector ket, y $\hat p | x \rangle$ es un vector ket, puede expresarse utilizando una base de una manera.

Así que mientras usted puede identificar $|x\rangle$ con la "función de onda" igual a $\psi(x'') = \delta (x''-x)$ donde $x$ es un valor fijo de la posición, el vector ket actuado $\hat p|x\rangle$ se da en términos de la función $f_x(x')$ que codifica los coeficientes delante de $|x'\rangle$ . Esta función (almacenar los coeficientes) viene dada en su totalidad por el significado del operador $\hat p$ y por el valor de $x$ y sustituye a la codificación de la función delta $|x\rangle$ por lo que, en este sentido, los operadores también actúan sobre los coeficientes. Sólo hay que conocer las reglas básicas de cómo actúan sobre una base, etc., ¡y ya se sabe todo!

Otra cosa que puede confundirte es aún más elemental, qué es una derivada. Una derivada es no un operador que actúa sobre el espacio de Hilbert. Una derivada es una operación que toma una función de una variable real y la mapea a otra función de la variable real $$\frac{\partial}{\partial x} : f(x)\mapsto f'(x) = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\epsilon}$$ Debes estar confundido con esta definición de derivada, de lo contrario no escribirías las derivadas sin sentido de la última frase. Algo debe depender generalmente de la variable con respecto a la cual estamos diferenciando, y entonces la diferenciamos como una función usando la definición general anterior.

El núcleo (o "elementos de la matriz") de $\hat p$ es $$\langle x | \hat p | x'\rangle = -i\hbar \delta'(x-x')=f_{x'}(x)$$ que es la derivada de la función delta. Es una función delta cuyo argumento es la diferencia de los dos valores $x,x'$ que especifican el vector bra y el vector ket entre los cuales $\hat p$ estaba emparedado. La función delta es igual al producto interior del vector bra $\langle x |$ y el vector $\hat p |x\rangle$ que resulta de la acción de $\hat p$ en $|x\rangle$ .

El núcleo es suficiente para calcular cualquier cosa que implique $\hat p$ y los vectores bra y ket en el $x$ -base. Por ejemplo, puede multiplicar mi ecuación para el núcleo anterior por $|x\rangle$ desde la izquierda e integrar sobre $x$ . Entonces se obtiene (después de observar que $1$ se construyó en LHS mediante la relación de integridad) $$\hat p |x'\rangle = \int dx (-i\hbar) \delta(x-x') |x\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle_{x= x'}$$ Disculpe si hay algún error de señalización. Tiene sentido diferenciar con respecto a $x$ porque el objeto es en realidad una función de $x$ . Si una función de onda general se reescribe como una combinación de tales $|x'\rangle$ vectores del LHS de la ecuación anterior, mediante una integral y con los coeficientes llamados $\psi(x')$ la ecuación anterior se convierte en la habitual $$\hat p:\psi(x')\to -i\hbar \psi'(x')$$ en función de los coeficientes. Esto no significa que un operador lineal sea lo mismo que una derivada de funciones. Sólo dice que en la $x$ -cuando se actúa sobre una combinación general de estos vectores base, los coeficientes se transforman en derivada. Pero esa es una propiedad especial de este operador en particular. Otros operadores, como $\hat x$ actúa de forma diferente.

Answer 4

Consideremos la relación de conmutación $[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$ . Su elemento matricial entre estados $\langle x|$ y $|x'\rangle$ , $$\begin{equation} \langle x|\hat x \,\hat p_x - \hat p_x\hat x|x'\rangle =i\hbar \langle x|x'\rangle , \end{equation}$$ da $$\begin{equation} (x-x')\langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \delta (x-x'), \end{equation}$$ para que $$\begin{equation} \langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \frac{\delta (x-x')}{x-x'}. \end{equation}$$ Sustituyendo esto en $\langle x|\hat p_x|\psi \rangle$ donde $|\psi \rangle$ es un estado ket arbitrario con la función de onda $\psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle$ tenemos $$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle &=&\int \langle x|\hat p_x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx'\\ &=&i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x') dx'. \end{eqnarray}$$ La única contribución a la integral procede de $x'$ muy cerca de $x$ por lo que podemos expandir la función de onda en series de Taylor de primer orden, $\psi (x')\simeq \psi (x)+\psi '(x)(x'-x)$ . Esto da $$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle =i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x) dx'-i\hbar \int \delta (x-x')\psi '(x)dx'=-i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}, \end{eqnarray}$$ donde la primera integral desaparece porque $\delta (x-x')$ es una función par y $1/(x-x')$ es impar.

Answer 5

Los estados son vectores, $|\alpha\rangle$ y la base $|x\rangle$ son vectores.

La notación $\langle x|\alpha\rangle$ es equivalente a $\alpha(x)$ esta es la coordenada del estado $|\alpha\rangle$ sobre la base $|x\rangle$ , $\alpha(x)$ es la amplitud de probabilidad o función de onda .

El operador $\hat p$ que se aplica a un estado o a una función dependiente de $x$ tiene la representación $-i \frac{\partial}{\partial x}$ (elegimos aquí la unidad $\hbar = 1$ para simplificar).

Así, por ejemplo, tenemos : $\langle x|\hat p|x'\rangle= -i \langle x|\frac{\partial}{\partial x'}|x'\rangle = = -i\frac{\partial}{\partial x'}\langle x|x'\rangle =+i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x')\tag{1}$

Usted tiene :

$$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle=\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle\langle x'|\alpha\rangle$$

$$=\iint dx dx'\alpha^*(x)i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x') ~~\alpha(x')$$

$$=\iint dx dx'\alpha^*(x)-i\delta(x-x') ~~\frac{\partial}{\partial x'}\alpha(x')\tag{2}$$

$$=\int dx~~ \alpha^*(x)(-i\frac{\partial}{\partial x})\alpha(x)$$ En $(2)$ hemos utilizado una integración por partes, suponiendo que la función de onda decrece suficientemente rápido en el boudary.

La ecuación $\hat p|x\rangle = (-i\frac{\partial}{\partial x})|x\rangle$ es correcta, pero no útil, porque no tenemos expresión para $\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$ . Una ecuación más útil se refiere a las operaciones de traslación, y es : $e^{-i\hat p.a}|x\rangle = |x+a\rangle$ o $\langle x |e^{i\hat p.a}=\langle x+a|$

Por último, mirando al estado $|\psi\rangle =|x_0\rangle$ la función de onda asociada es $\langle x|x_0\rangle = \delta(x-x_0)$ por lo que el valor medio del momento en este estado es :

$$\langle\psi|\hat p|\psi\rangle\tag{3}=\int dx \delta(x-x_0) (-i\frac{\partial}{\partial x})\delta(x-x_0) = -i \delta'(0)=0$$

Esto se puede entender fácilmente, porque si se fija la posición ( $x=x_0$ ), la incertidumbre del momento es infinita, por lo que todos los momentos se autorizan con la misma probabilidad, por lo que la media de los momentos es cero.