Se trata de una secuela de esta pregunta donde pregunté por qué número entero positivo $n$ el conjunto de primos del primero $x^2+ny^2$ se definió por congruencias (un conjunto de primos $P$ es definido por congruencias si existe un número entero positivo $d$ y un subconjunto $A$ de $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ tal que un primo $p$ está en $P$ sólo si $p$ mod $d$ está en $A$ hasta un número finito de excepciones). Allí me enseñaron que la respuesta era "exactamente cuando $n$ es idoneo", que hay finitamente muchos números idoneos, y que todos son conocidos menos quizás uno.
Cuándo es el conjunto de primos de la forma $x^2+ny^2+mz^2$ ( $x,y,z \in \mathbb{Z})$ definido por congruencias?
Mi motivación no es una mera generalización ternaria del caso binario. Realmente me encontré con esta cuestión mientras trabajaba en un problema relativo a las formas modulares, y también con la cuestión algo más general, dado un número entero positivo fijo $a$ cuando es el conjunto de los primos $p$ tal que $ap$ tiene la forma $x^2+ny^2+mz^2$ ( $x,y,z \in \mathbb{Z})$ definido por congruencias?
Soy muy consciente de que, dado que el conjunto de los números enteros representados por una forma cuadrática ternaria no es estable por multiplicación, es mucho menos natural plantear la pregunta para números primos en lugar de para todos los enteros positivos que en el caso de una forma cuadrática binaria. Sin embargo, esta es realmente la pregunta para los números primos que aparece en mi estudio (para una docena de formas ternarias específicas, en realidad).
He encontrado un artículo muy interesante de Dickson (Ternary quadratic forms and congruences. Ann. of Math. (2) 28 (1926/27), nº 1-4, 333-341.) que resuelve la cuestión para los enteros representados por $x^2+ny^2+mz^2$ sólo hay un número explícito finito de $(n,m)$ tal que este conjunto de enteros está definido por congruencias (en el sentido obvio). Pero la prueba no me parece fácilmente generalizable a los números primos. Otras investigaciones en mathscinet no me dieron más información.
Cuando intento pensar en la pregunta, me encuentro con otra aún más básica (aunque quizá un poco más sofisticada) a la que no puedo responder:
Cuándo es el conjunto de primos de la forma $x^2+ny^2+mz^2$ ( $x,y,z \in \mathbb{Z})$ ¿Frobeniano? (¿Es "siempre"?)
Un conjunto de primos $P$ se llama Frobeniano (terminología probablemente introducida por Serre) si existe una extensión finita de Galois $K/\mathbb{Q}$ y un subconjunto $A$ de Gal $(K/\mathbb{Q})$ estable por conjugación tal que un primo $p$ está en $P$ si y sólo si Frob ${}_p \in A$ salvo un número finito de excepciones. Un conjunto determinado por congruencias es un conjunto Frobeniano para el cual podemos tomar $K$ ciclotómico sobre $\mathbb{Q}$ que es lo mismo por Kronecker-Weber que abeliano sobre $\mathbb{Q}$ . Para una forma cuadrática binaria cuadrática binaria (por ejemplo $x^2+ny^2$ ), el conjunto de los primos representados es siempre Frobeniano ( $K$ puede tomarse como campo de clase de anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ y $A=\{1\}$ como se explica en el libro de Cox). Pero no veo la razón (que sin embargo puede ser trivial) por la que el mismo resultado sería cierto para una forma cuadrática ternaria general. Debo añadir que para mis formas ternarias específicas, puedo demostrar que el conjunto es Frobeniano, pero no estoy seguro de cómo extender el argumento a todas las formas cuadráticas ternarias.
Por último, permítanme decir que estaría interesado en cualquier libro, encuesta o referencias sobre este tipo de cuestiones (que seguramente deben haber sido estudiadas), y que también estoy interesado en cuestiones análogas para formas cuadráticas cuaternarias (que podrían ser más fáciles, debido a las propiedades multiplicativas relacionadas con los cuaterniones).
