¿Significado geométrico de la reducción semiestable?

Question

Así que $R$ sea un anillo de valoración discreto y sea $X$ sea un esquema propio y plano sobre $R$ . Sea $X_s$ denotan la fibra especial de $X$ .

Así que intuitivamente, cuando alguien dice que una curva $X$ es semiestable en cierto modo lo equiparo en mi mente con la propiedad de que $X_s$ sólo tiene como singularidades puntos dobles ordinarios.

Q1 : Entonces, en general (es decir, en dimensión superior), ¿cuál es el significado geométrico para un esquema sea semiestable?

Por el lado de la representación de Galois tenemos una definición muy precisa de lo que significa semiestable utilizando el anillo de Fontaine $\mathbf{B}_{st}$ .

Q2 Si existe una respuesta precisa a Q1 ¿existe alguna buena referencia (más del lado intuitivo que del técnico) donde se demuestre la equivalencia (bajo supuestos adecuados) de que la definición geométrica coincide con la de representación de galois?

Answer 1

En su entorno $X$ es semiestable significa que su fibra especial $X_s$ es un divisor reducido con cruces normales en $X$ .

El vínculo con las representaciones de Galois es muy profundo. De hecho, en general sólo se conoce una implicación, a saber, si $X$ es semiestable, entonces su representación de Galois asociada es semiestable. Esto se conoce como (una consecuencia de) la conjetura $C_{\mathrm{st}}$ de Fontaine y Jannsen. En la actualidad existen al menos tres pruebas diferentes de esta conjetura. Una fue aportada por la escuela japonesa (Hyodo, Kato, Tsuji); véase el estudio de Tsuji en Astérisque 279. Otra fue aportada por Faltings utilizando su teoría de las extensiones casi etéreas. Recientemente, Niziol ha dado otra prueba utilizando $K$ -teoría.

La implicación inversa parece muy difícil en general. Para variedades abelianas esto fue demostrado por Coleman-Iovita (Duke Math. 1999) y Breuil (Annals of Math. 2000). Para las curvas, esto se deduce del teorema de Deligne-Mumford según el cual una curva es semiestable si y sólo si su jacobiano es semiestable (Publ. Math. IHÉS 1969) (véase la obra de Mathieu Romagny article ).

Faltings también ha obtenido el resultado de que las representaciones de Galois asociadas a esquemas propios sobre $K = \operatorname{Frac}(R)$ son de Rham (y, por tanto, potencialmente semiestables). Por tanto, si conociéramos la implicación inversa en general, entonces deduciríamos que todo esquema es potencialmente semiestable (en el sentido de que adquiere reducción semiestable tras una extensión finita), pero esto no se conoce en general.

Answer 2

Para profundizar en la respuesta de François Brunault: no es cierto en general que tener una cohomología etale semiestable implique tener una reducción semiestable (del mismo modo que no es cierto que tener una cohomología etale cristalina implique tener una buena reducción). Así que la implicación sólo va en una dirección.

Añadido en respuesta al comentario siguiente: Por ejemplo, si $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb Q_p$ con buena reducción, y $P$ es un $E$ -torsor sin $\mathbb Q_p$ -punto racional, entonces $P$ no tendrá buena reducción. Tampoco tendrá reducción semi-estable, ya que tiene potencialmente buena reducción (obtiene un punto racional sobre algunos ampliación de $\mathbb Q_p$ y, por tanto, se convierte en isomorfo de $E$ sobre esa misma extensión). La cohomología etale ( $\ell$ -ádico o $p$ -ádica) de $P$ coincide con la de $E$ y así $P$ es un ejemplo de variedad sobre $\mathbb Q_p$ con acción de Galois semiestable (de hecho cristalina) en su $p$ -que no tiene reducción semiestable.