¿Qué es exactamente la regularización en QFT?

Question

La pregunta.

¿Existe un mathematicaly precisa, una definición comúnmente aceptada del término "procedimiento de regularización" en perturbativa de la teoría cuántica de campos? Si es así, ¿qué es?

La motivación y el fondo.

Como se ha señalado por el usuario drake en su agradable respuesta a mi pregunta anterior, Regulador-esquema de la independencia en QFT , se dice a menudo que en un renormalizable la teoría cuántica de campos, los resultados de las magnitudes físicas (tales como la dispersión de las amplitudes) cuando se escriben en términos de otras magnitudes físicas (como la física masas, física, acoplamientos, etc.) no dependen del procedimiento de regularización que uno elige para su uso. De hecho, el usuario drake toma esta propiedad deseable como parte de la definición del término "renormalizable."

En mi mente, para que tal declaración o definición para que sea significativa y útil, que ayuda a tener una precisa matemáticamente explícita de la noción de lo que constituye un procedimiento de regularización. De esa manera, cuando uno quiere calcular algo físico, se puede utilizar cualquier procedimiento que uno quiere, siempre y cuando se den algunas de las propiedades generales.

Mi comprensión actual en un (pequeño) de cáscara de nuez.

Cuando nos perturbativa de cálculo, dicen, las funciones de correlación para algunos la teoría de la pre-regularización/renormalization, obtenemos el poder formal de la serie en el desnudo de los parámetros que caracterizan a la teoría. Ese poder de la serie' contienen expresiones de bucle integrales que genéricamente divergentes, a menudo, debido a la alta velocidad (UV) de efectos, así que "regularizar", es decir, podemos aplicar algún procedimiento por el cual estas integrales se hacen depender de algún parámetro, llamado $\Lambda$, y se representan finito proporcionó $\Lambda$ no toma en un determinado valor límite de $\Lambda_*$ (que podría ser de $\infty$) correspondiente a la física de régimen (como los rayos UV) que llevó a la original de la divergencia. Luego nos renormalize y encontrar (en renormalizable teorías) que $\Lambda$ gotas de resultados físicos.

¿Qué tipo de respuesta que estoy buscando?

Estoy buscando algo como esto.

Un procedimiento de regularización es una receta que a todos los divergentes integrales encontrado en la teoría de la perturbación se hacen depender de un parámetro $\Lambda$ y que satisface las siguientes propiedades: (1) Todos los divergentes integrales son prestados finito para todos, pero un cierto valor de $\Lambda$. (2)...

Sé que hay otras propiedades, pero no sé lo que constituye una lo suficientemente lista completa de tales propiedades tales que si se va a mostrar algún procedimiento, se podría decir "oh, sí, eso cuenta como válido el procedimiento de regularización, buen trabajo!" Seguramente, por ejemplo, la supuesta procedimiento de regularización no puede ser muy destructivo; no puedo, por ejemplo, basta con sustituir cada bucle integral con $3\Lambda$ y lo llaman un día porque eso sería destruir completamente toda la información acerca de cómo muchos de los bucles de los correspondientes diagramas de contenidos. Cuánto de la "estructura formal" de las integrales realiza el procedimiento necesario para preservar?

Tan lejos como puedo decir, no hay discusión sobre esto en cualquiera de los estándar de QFT textos que simplemente adoptar probado y verdadero de los procedimientos como un duro UV de corte, dim reg, Pauli-Villars, etc. sin comentarios en general las condiciones suficientes para garantizar que estos procedimientos se cuentan como "buena". Hay, por supuesto, gran parte de la discusión acerca de si ciertos reguladores de preservar ciertas simetrías, pero eso es una cuestión distinta.

Edit. (8 de enero de 2014)

Los debates con estudiantes de posgrado me han llevado a creer que le corresponda a la definición de producto, apelando a la idea de efectivo de la teoría de campo. En particular, si consideramos que nuestra teoría como un efectivo de baja energía descripción de algunas de las más completa de la teoría que funciona a energía de mayor escala, entonces la imposición de un alto el impulso de corte tiene un conceptualmente posición privilegiada entre los reguladores; es la forma natural de la codificación de la idea de que la supuesta teoría sólo funciona por debajo de una cierta escala.

Esto puede ser utilizado para definir un procedimiento de regularización que, en cierto sentido, se reproduce la misma estructura codificada en la regularización con un corte. Por desgracia, todavía no estoy del todo seguro de si esta es la manera correcta de pensar acerca de esto, y tampoco estoy seguro de cómo formalizar la noción de preservación de la estructura de la que sale de corte de regularización. Mi inclinación es que la estructura más importante que preservar es el singular comportamiento de regularización de la integral como el límite de $\Lambda$ se toma hasta el infinito.

Answer 1

La respuesta definitiva a la pregunta es: No hay mathematicaly precisa, una definición comúnmente aceptada del término "procedimiento de regularización" en perturbativa de la teoría cuántica de campos.

En lugar de ello, existen diversos programas de regularización con sus ventajas y disatvantages.

Tal vez usted encontrará Capítulo B5: Divergencias y renormalization de mi física teórica de preguntas frecuentes en la http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html iluminando. No trato de abstraer las características comunes y explicar, en términos generales, lo que se necesita para hacer renormalization trabajo. La creencia general es que los detalles del esquema de regularización no importa, aunque, de hecho, se sabe que a veces algunos programas de regularización dar aparentemente incorrecta de los resultados.

Esto es de esperarse ya que el unregularized teoría está mal definida, y puede ser bien definido de diferentes maneras, como un divergentes serie infinita puede ser dado infinitamente muchos significados diferentes dependiendo de cómo se agrupan los términos de la suma de ellos.

Si en cualquier momento en el futuro, habrá una respuesta positiva a su pregunta, lo más probable es que sólo cuando alguien encuentra una, lógicamente, el sonido no perturbativa de la definición de la clase de renormalizable las teorías cuánticas del campo.

Por otro lado, si usted quiere tener un matemáticamente riguroso tratamiento de algunos en particular los programas de regularización para algunos en particular teorías, usted debe leer los libros por (i) Salmhofer, Renormalization: una introducción, Springer, 1999, y (ii) Scharf, Finito de la electrodinámica cuántica: la aproximación causal, Springer 1995.

Answer 2

Me voy a dar una tonta respuesta, pero creo que esto es lo mejor que podemos hacer. Un regulador es ninguna receta para la definición de la ruta integral de manera tal que después de la adición de una suma de local counterterms a la acción y permitiendo la física acoplamientos a depender de la renormalization escala $\mu$, las funciones de correlación son iguales a los obtenidos mediante la adopción de un continuum de límite de una celosía de la teoría. Esto es similar en la motivación de su más reciente edición, excepto que realmente necesitamos utilizar una red en lugar de un Euclidiana impulso espacio de corte, debido a que los últimos saltos de invariancia gauge.

Soy pesimista acerca de la existencia de una respuesta mejor, porque algunos de los reguladores de satisfacer algunas buenas propiedades (es decir, unitarity, simetrías, etc.), mientras que otros no.

Answer 3

Como usted dijo que la regularización es necesario incluso empezar a hacer sentido de los diagramas que aparecen en la teoría de la perturbación. La palabra "perturbación" ya contiene una pista hacia la respuesta que usted podría estar buscando. Si usted está tratando de hacer sentido de la interacción de la teoría $d\nu$ por la perturbación, esto implica que hay alguien que está perturbado, es decir, libre de la teoría $d\mu$. Creo que la regularización es una característica de la par $d\nu,d\mu$ en vez de $d\nu$ solo. Por ejemplo, tomar la medida funcional $d\mu$ correspondiente a las habituales en campo libre $$ d\mu(\phi)=\frac{1}{Z}e^{-\frac{1}{2}\int \{(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\}} D\phi $$ y dejar $d\nu(\phi)=\frac{1}{Z}e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$ donde $V$ es tu favorito potencial de interacción, por ejemplo, $$ V(\phi)=g\int \phi^4\ . $$ Deje que $\rho(x)$ ser un mollifier (no estoy seguro de cómo uno debe hechizo que), es decir, una función suave con deterioro rápido o incluso compacto de apoyo alrededor del origen con $\int \rho=1$. Deje que $\rho_r(x)=2^{dr}\rho(2^{-r} x)$, donde $$ d es la dimensión (de Euclídea del espacio-tiempo) y $r\rightarrow -\infty$ es el UV cut-off. Entonces, si se denota por $d\mu_r$ la ley de $\rho_r\ast\phi$ con $\phi$ muestreado conforme a la libre probabilidad de medida $d\mu$, uno tiene la debilidad de la convergencia de $d\mu_r$ a $d\mu$ cuando $r\rightarrow-\infty$. En ese sentido, la modificación que estamos haciendo es una buena regularización de la medida $d\mu$. Ahora, en una inspección más cercana $e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$ no tiene ningún sentido. Sin embargo $e^{-V(\phi)}d\mu_r(\phi)$ está perfectamente bien. Así que el juego se convierte tratando de obtener $d\nu$ como el límite de las medidas $d\nu_r(\phi)=\frac{1}{Z_r}e^{-V_r(\phi)}d\mu_r(\phi)$ cuando $r\rightarrow -\infty$. Aviso que he cambiado de $V$ a $V_r$ porque renormalization la teoría nos dice que tenemos que dejar que los acoplamientos de $g$, etc. dependen de la cut-off $r$.

Si uno tiene éxito en esta construcción de la interacción de la teoría $d\nu$, la independencia de la regularización puede ser entendido como muestra de que el resultado es independiente de la elección de la mollifier $\rho$ (heat kernel reularization o Pauli-Villars son casos particulares).

En el marco de singular SPDEs, los recientes avances Hairer con su teoría de la regularidad de las estructuras. Una característica importante de esta teoría es que le permite a uno para probar afirmaciones similares sobre la independencia con respecto a la elección de procedimiento de regularización.

Tenga en cuenta que no hay ninguna razón para restringir las consideraciones anteriores para perturbado teorías de $d\mu$ que son de Gauss. En cierto sentido, la conformación teoría de la perturbación es acerca de perturbaciones similares alrededor de otros que no son triviales QFTs.

Por supuesto, en el espacio de Fourier, el propagador de $d\mu_r$ es $$ \frac{|\widehat{\rho}(2^p r p r p)|^2}{p^2+m^2} $$ pero yo prefiero la definición en $x$ el espacio como una convolución, ya que esto equivale a sacar local promedios y es un continuo análogo de Kadanoff del bloque de hilado de procedimiento.

Answer 4

La regularización es una reescritura de su integral, de modo que usted puede manejar sus divergencias con el uso de otros trucos.

Por ejemplo, en QFT calcular algunos de amplitud a un cierto orden en teoría de la perturbación. Las integrales que representan los diagramas de lazos divergen. El más común el procedimiento de regularización se llama dimensiones de regularización donde parametrizar la dimensión de su bucle integral para, por ejemplo, d=4-c.

Resulta que su integral se divergentes para la gran impulso, por lo que disponer de una rama cortada. Ahora, después de dimensiones de regularización de la rama de corte divergencia se convirtió en un simple poste cuando c=0. Como usted sabe, es más fácil tratar con un simple poste de una rama cortada.

Después de hacer su integral más manejable puede renormalize y, a continuación, separe el divergentes y finito de partes de su resultado. Finalmente el uso de otros trucos para quitar la parte divergente, por ejemplo agregar counterterms a su lagrange.

Answer 5

Usted tiene una teoría, entonces usted calcular alguna cantidad física, con algunas divergencias . La idea de "regularización" es definir otra teoría dependen de algún parámetro, cuando deje el parámetro enviar a algún valor ( es decir que d->4, Λ->infinito, de celosía de longitud a cero...), Que otra teoría tiende a la teoría original. Este procedimiento le garantiza obtener un determinado resultado, sin embargo, cuando el parámetro enviar a algún valor, recuperar la teoría original.

El siguiente paso es "renormalization". Utilizamos la regularización de la teoría para calcular básicos de cantidad física, tales como la masa, la dispersión de amplitud. Toda otra cantidad física puede ser expresada por esta básicos de cantidad, el milagro de la "teoría renormalizable "es esta expresión es irrelevante del parámetro.