¿Existen métricas de curvatura gaussiana no negativa en estas superficies?

Question

Sea $\Sigma$ sea una superficie compacta de género $g \geq 1$ y teniendo $r \geq 1$ componentes fronterizos. ¿Existen métricas de curvatura gaussiana no negativa en $\Sigma$ ? Si $\Sigma$ fueran cerradas, entonces el teorema de Gauss Bonnet implica que no existen tales métricas, excepto para el toro plano ( $g = 1$ ).

Answer 1

Efectivamente, existen tales métricas. La idea es que cualquier superficie compacta con una frontera no vacía puede estar inmersa suavemente en el plano, y por tanto en $S^2$ y así se puede obtener una métrica de curvatura gaussiana constante $+1$ retirando la métrica de Riemann sobre $S^2$ bajo la inmersión. Lo que digo es cierto siempre y cuando $\Sigma$ es orientable, una suposición que creo que tú también estás utilizando, así que procederé con esa suposición. (También se podría hacer el caso no orientable por inmersión en el plano proyectivo).

Su superficie $\Sigma$ puede obtenerse a partir de un polígono regular $P \subset \mathbb R^2$ con $4k$ lados, $k \ge 1$ indexando los lados en algún orden, eligiendo un par de lados pares, y entonces, para cualquier par de lados pares $E,E'$ eligiendo un difeomorfismo de pegado $E \leftrightarrow E'$ que invierte la orientación en sentido contrario a las agujas del reloj.

Por ejemplo, pensemos que el toro se obtiene identificando los lados opuestos de la manera habitual, pero antes de hacer las identificaciones primero truncamos las esquinas para obtener un octógono; las identificaciones resultantes de los pares de lados opuestos de índice par de ese octógono dan un toro de un solo agujero, $g=1$ , $r=1$ .

Así que, en lugar de identificar realmente un determinado par lateral $E,E'$ de $P$ en su lugar, utilice una incrustación suave $[0,1] \times [0,1] \hookrightarrow \mathbb R^2$ de modo que la imagen de esta incrustación interseca $P$ a lo largo de $[0,1] \times 0 \approx E$ y $[0,1] \times 1 \approx E'$ (la existencia de esta incrustación suave utiliza la suposición de que el difeomorfismo de encolado $E \leftrightarrow E'$ invierte la orientación hacia la izquierda). Esto da una inmersión topológica de $\Sigma$ que es lisa excepto en cada esquina de $P$ pero un poco de alisado suavizará las esquinas.

Answer 2

He aquí una respuesta diferente utilizando deformaciones conformes.

Primero observe que el teorema de Gauss--Bonnet para una superficie compacta $(M^2,g)$ con estados límite que $$ 2\pi\chi(M) = \int_M K\,d\sigma + \oint_{\partial M} k\,ds , $$ donde $k$ es la curvatura geodésica de la frontera. En particular, no hay razón para esperar que la característica de Euler obstruya la existencia de una métrica de curvatura gaussiana no negativa a menos que también se requiere que la frontera sea (débilmente) convexa.

A continuación, observe que si $\hat g = e^{2u}g$ entonces \begin{align} e^{2u}K_{\hat g} & = K_g - \Delta_g u, \\ e^u k_{\hat g} & = k_g + \partial_n u, \end{align} donde $\partial_n$ es la normal unitaria que apunta hacia el exterior (con respecto a $g$ ). En particular, si $u$ es la solución del problema de Dirichlet $$ \begin{cases} \Delta_gu = K_g, & \text{in $M$}, \\ u = 0, & \text{on $\partial M$} , \end{cases} $$ entonces la métrica $e^{2u}g$ será plana (la condición de contorno es irrelevante aquí; sólo doy un ejemplo en el que se sabe que existe una única solución suave, siempre que $\partial M\not=\emptyset$ ). En otras palabras, se puede deformar conformemente $any$ superficie compacta con límite para tener curvatura gaussiana idénticamente cero.

Lo más interesante es que Osgood, Philips y Sarnak demostraron [ Extremos de determinantes de Laplacianos Teorema 1(c)] que dada una superficie compacta $(M^2,g)$ con límite, existe una métrica única (hasta homotecia) conformemente relacionada $e^{2u}g$ con curvatura gaussiana idénticamente cero y frontera de curvatura geodésica constante.