Existencia y unicidad del punto fijo

Question

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una función diferenciable. Supongamos que $|f'(x)|\le r<1,\forall x\in \mathbb{R}$ y para algunos $r\in \mathbb{R}$ Entonces, por el teorema del mapa de contracción, f tiene un único punto fijo en $\mathbb{R}$ . Supongamos ahora que la desigualdad cambia como $f'(x)\le r<1, \forall x\in \mathbb{R}$ y para algunos $r\in \mathbb{R}$ . Entonces, ¿es cierto que $f$ tiene al menos un punto fijo. ¿Qué pasa con la unicidad si la existencia es cierta? A la inversa, si existe un punto fijo único para dicha función diferenciable, ¿es necesario que $f'(x)\le r<1, \forall x\in \mathbb{R}$ y para algunos $r\in \mathbb{R}$ ?

Answer 1

La función $g(x) := x- f(x)$ es diferenciable y $$ g'(x) = 1 - f'(x) \geq 1 - r \qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$ Desde $1-r>0$ Esto demuestra que $g$ es estrictamente creciente (por lo que puede tener como máximo un cero) y que $$ \lim_{x\to -\infty} g(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty, $$ por lo que tiene al menos un cero (al ser continua). El único cero de $g$ es el único punto fijo de $f$ .

Answer 2

Tanto la existencia como la unicidad siguen vigentes. Se puede ver fácilmente geométricamente observando que $f$ siempre será cada vez menor que $id(x)=x$ y un punto fijo es lo mismo que una intersección de la gráfica de $f$ con la diagonal de $\mathbb{R}^2$ (que es el gráfico de $id$ ).

Formalmente, sea $x\in\mathbb{R}$ y supongamos $f(x)>x$ . Sea $k=\frac{f(x)-x}{1-r}$ que resuelve la ecuación $$f(x)+kr = x+k\ .$$ Entonces $$f(x+k) = f(x)+\int_x^{x+k}f'(t)dt\le f(x)+kr = x+k\ .$$ Por el teorema del valor intermedio, se deduce que $f$ tiene un punto fijo. Una prueba similar da un punto fijo si $f(x)<x$ demostrando la existencia.

Para la unicidad, supongamos $x_0<x_1$ son dos puntos fijos distintos. Entonces $$f(x_1) = f(x_0)+\int_{x_0}^{x_1}f'(t)dt \le x_0+(x_1-x_0)r<x_1\ ,$$ dando una contradicción. Por lo tanto, el punto fijo debe ser único.

Observe que esto funciona para $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ no para funciones generales en espacios métricos.

Answer 3

$f: x\mapsto \sin (x) $ tiene un único punto fijo $x=0$ pero $f'(2\pi)=1$ .

$g:x\mapsto 2x $ tiene un punto fijo pero $g'(x)=2$ .