Es un hecho bien conocido que si un número entero es la suma de dos cuadrados racionales, entonces es la suma de dos cuadrados enteros. Por ejemplo, Cohen vol. 1 página 314 prop. 5.4.9. Cohen da una breve demostración que se basa en Hasse-Minkowski, pero atribuye el teorema (sin referencia) a Fermat, que no disponía de Hasse-Minkowski. Así que mi pregunta es, ¿cómo demostró Fermat este teorema? y la segunda parte de la pregunta es, ¿cuál es la demostración directa más sencilla? Busqué este resultado en Google y encontré un manuscrito con una demostración que no utiliza Hasse-Minkowski, pero no es muy breve.
Respuestas
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Este resultado está bastante lejos de necesitar el Teorema de Hasse-Minkowski completo. De hecho, como Fermat ya sabía qué números enteros eran suma de dos cuadrados enteros, le bastaría con demostrar que los que no lo eran (es decir, los que tenían una potencia impar de algún primo congruente con 3 mod 4 que apareciera en su factorización en primos) tampoco podían escribirse como suma de dos cuadrados racionales. Pero esta es la fácil dirección de Hasse-Minkowski: Demostrar que (digamos) un primo $p\equiv 3\pmod{4}$ no puede escribirse como suma de dos cuadrados racionales, basta comprobar que no puede ser suma de dos $\ell$ -cuadrados racionales para algunos $\ell$ . Por supuesto, Fermat no tenía el lenguaje de la $\ell$ -adics, por lo que habría sido sustituido por mod- $q^k$ condiciones para varios $k$ .
Concretamente, la prueba moderna de Hasse-Minkowski se reduce a la afirmación de que un primo que es 3 mod 4 no puede escribirse como suma de dos cuadrados racionales porque no puede hacerse 2-ádicamente. En efecto, basta con calcular el símbolo único de Hilbert $$ p\equiv 3\pmod{4}\Rightarrow (p,-1)_2=(-1)^{(p-1)/2}=-1, $$ demostrando que $x^2=pz^2-y^2$ no tiene $2$ -ádicas, y por tanto no racionales, que tras las sustituciones $a=x/z$ y $b=y/z$ implica que no se puede escribir $p=a^2+b^2$ con $a,b\in\mathbb{Q}$ . Por supuesto (de nuevo), Fermat no tenía símbolos de Hilbert, pero esto es sólo un cambio de lenguaje lejos del enfoque de Fermat (me imagino). No sería difícil descomponer el cálculo anterior en un único (probablemente largo) cálculo mod-8, ya que eso es todo lo que hay que hacer para decidir qué elementos de $\mathbb{Q}_2$ son cuadrados, que a su vez es esencialmente todo lo que vive detrás de los símbolos de Hilbert.
thattolleyguy
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EDIT: hay un truco elemental para hacer esto debido a Aubry, es el Teorema 4 en la página 5 de PETE .
Las formas binarias primitivas positivas que dan el fácil truco de Aubry mostrando que racional implica integral son: $$ x^2 + y^2, x^2 + 2 y^2, x^2 + 3 y^2, x^2 + 5 y^2, $$ $$ x^2 + x y + y^2, x^2 + x y + 2 y^2, x^2 + x y + 3 y^2, $$ $$ 2 x^2 + 3 y^2, 2 x^2 + x y +2 y^2, 2 x^2 + 2 x y + 3 y^2. $$ Observe que todos ellos son "ambiguos", es decir, equivalentes a sus "opuestos". Esto no es un accidente.
Probablemente sea necesario mencionarlo, para la propiedad mencionada por el OP no hay diferencia entre la suma de dos cuadrados y la suma de tres cuadrados...
Cierto, no sé Fermat, pero este fenómeno ocurre a menudo. La primera mención en MO es Intuición para el último paso de la demostración de Serre del teorema de los tres cuadrados
y la técnica, debida a Aubry, Cassels y Davenport, se menciona en Serre Curso de aritmética, páginas 45-47, y Weil Teoría de números: Una aproximación a través de la historia de Hammurapi a Legendre, páginas 59 y 292ss en las que se discute el posible pensamiento de Fermat.
Sobre mi uso de la palabra "fenómeno", es necesario para que el truco de Aubry-Cassels-Davenport funcione que tengamos la condición "euclidiana" de Pete, ¿Un anillo que admite una forma cuadrática euclídea debe ser euclídeo? que normalmente, para formas cuadráticas positivas, se denomina límite del "radio de cobertura" de la red integral considerada. Tardé más o menos un año en demostrar que la condición de Pete implicaba que sólo podía haber una clase en ese género, Prueba a priori de que el radio de cobertura es estrictamente inferior a $\sqrt 2$ implica la clase número uno
Una lista completa de formas positivas que satisfacen la condición de Pete se encuentra en NEBE . Una generalización suave de la condición, debida a Richard Borcherds y a su alumno, Daniel Allcock, se aplica a formas como la suma de cinco cuadrados.
Shannon Nelson
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Esto es una consecuencia fácil del hecho de que si $p \equiv 3$ (mod 4) es un primo racional, entonces $p$ sigue siendo primo en el anillo de enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i].$ Entonces se deduce que si $a$ y $b$ son enteros racionales, las potencias de $p$ dividiendo $a+bi$ y $a-bi$ (en $\mathbb{Z}[i]$ ) son iguales. Por lo tanto, si $n$ es un número entero con $a^2 + b^2 = c^2 n$ para números enteros $a,b$ y $c,$ entonces el poder de $p$ dividiendo $n$ es par. El hecho de que $p$ sigue siendo primordial en $\mathbb{Z}[i]$ era conocida (al menos implícitamente) por Fermat. Pues si $p = (r +si)(t+ui)$ para números enteros $r,s,t$ y $u,$ entonces $p^2 = (r^2 +s^2)(t^2 + u^2).$ No podemos tener $p = r^2 + s^2$ ya que una suma de dos cuadrados enteros es congruente con $0,1$ o $2$ (mod 4). Por lo tanto, debemos concluir que uno de $r + si$ o $t +ui$ es una unidad en $\mathbb{Z}[i]$ Así que $p$ sigue siendo primo en $\mathbb{Z}[i].$
