Pruebas $\operatorname{Card} (\omega_1)\leq \operatorname{Card} (P(\mathbb{N}))$

Question

Tenga en cuenta que $\omega_1$ = primer ordinal incontable. Es el conjunto de todos los ordinales contables

Todavía no estoy acostumbrado a usar notaciones en este sitio así que primero daré la idea general que tengo en mente para esta prueba en pasos:

1) para cada ordinal contable existe un orden (un subconjunto de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ ) tal que el ordinal es isomorfo de orden con $\mathbb{N}$ o un subconjunto adecuado del mismo.

2) Defina una relación de equivalencia en $P(\mathbb{N}\times \mathbb{N})$ donde dos elementos (dos subconjuntos de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ ) son equivalentes si ambos inducen algún isomorfismo de orden sobre el mismo ordinal.

3) definir el mapa $f\colon\omega_1\to P(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ donde cada ordinal se asigna a la clase de equivalencia correspondiente.

4) Asumiendo el axioma de elección defina una función de elección $H$ sobre el conjunto de clases de equivalencia que asigna a cada clase de equivalencia un elemento correspondiente dentro de la clase.

5) tomar la convolución de $f$ y $H$ para obtener la función 1-1 deseada.

Sé que aún tengo que formalizar la prueba, pero ¿son correctos los pasos generales? Tampoco estoy seguro de si las partes 4 y 5 son necesarias.

Answer 1

¡Ten cuidado! En el paso 3 dices $f$ lleva un ordinal a la clase de equivalencia correspondiente, pero las clases de equivalencia de ordenación viven en $P(P(\mathbb{N}\times\mathbb{N}))$ . Tu enfoque funcionará una vez que arregles esto.

He aquí una forma ligeramente diferente (en realidad sólo cosméticamente diferente): construimos una suryección a partir de $P(\mathbb{N})$ a $\omega_1$ donde identificamos $\mathbb{N}$ con $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ y por lo tanto puede tomar tipo-orden para bien-ordenar, y si no bien-ordenar simplemente cocinar algo que golpea a todos los de $\omega$ (por ejemplo $0$ si es infinito, en caso contrario el ordinal correspondiente a la cardinalidad). Así que llegamos a todos los ordinales contables y por lo tanto tenemos $\lvert\omega_1\rvert\leq^*\lvert P(\mathbb{N})\rvert$ y por AC $\leq^*$ y $\leq$ son los mismos.

Obsérvese que la afirmación no puede demostrarse sólo con ZF+DC -- hay modelos en los que ni $\omega_1$ ni $P(\mathbb{N})$ entre sí, por lo que no son comparables.

Answer 2

Supongo que es más fácil: para cada $\alpha \in \omega_1$ elegimos (¡se utiliza AC!) una biyección $f_\alpha: \mathbb{N} \mapsto \alpha$ lo que nos da una buena ordenación en $\mathbb{N}$ definido por algún subconjunto $\Omega_\alpha\subset \mathbb{N}\times\mathbb{N} \sim \mathbb{N}$ . Ahora la función $\varphi: \omega_1 \mapsto P(\mathbb{N})$ : $\varphi(\alpha):=\Omega_\alpha$ es inyectiva (de lo contrario, dos ordinales diferentes serían de orden isomorfo, lo que es imposible), lo que implica que $\mathrm{card}(\omega_1)\leqslant \mathrm{card}(P(\mathbb{N}))$ por definición.