Pregunta(s) sobre el uniforme de los espacios.

Question

Yo estaba revisando preguntas y notas relacionadas con el uniforme de los espacios y llegó a través de esta interesante declaración: Todo espacio métrico es homeomórficos, como un espacio topológico, para completar un espacio uniforme.

Parece bastante staightforward, pero estoy teniendo problemas para probarlo.

También, hubo una pregunta de seguimiento que parecía interesante: ¿Es cierto que todo espacio métrico es homeomórficos a un completo espacio métrico?

Alguien puede ayudar? Gracias!

Answer 1

Como t.b. se indicó en los comentarios, cada espacio métrico es paracompact, para un mejor resultado es:

Teorema. Cada paracompact espacio de Hausdorff es completamente uniformizable.

Deje $\langle X,\tau\rangle$ ser un paracompact espacio de Hausdorff. El primer paso de la prueba es demostrar que la colección de $\mathfrak{N}$ de todos los nbhds de la diagonal de a $X\times X$ es una base para una diagonal de uniformidad en $X$. Es claro que $\mathfrak{N}$ satisface la mayoría de las condiciones requeridas; el único que no está inmediatamente claro es que para cada abierto nbhd $N$ de la diagonal hay un abrir nbhd $M$ tal que $M\circ M\subseteq N$, es decir, tal que $\langle x,z\rangle\in N$ siempre $\langle x,y\rangle,\langle y,z\rangle\in M$.

Para ver esto, vamos a $N\in\mathfrak{N}$. Vamos $\mathscr{U}=\{U\in\tau\setminus\{\varnothing\}:U\times U\subseteq N\}$; $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de a $X$. En esta respuesta me mostró cómo encontrar un abrir baricéntrico refinamiento $\mathscr{V}$ $\mathscr{U}$ , es decir, de una finura con la propiedad de que para cada una de las $x\in X$ no es un porcentaje ($U\in\mathscr{U}$tal que $\operatorname{st}(x,\mathscr{V})\subseteq U$. Ahora repita el proceso para obtener un baricéntrico abrir el refinamiento $\mathscr{W}$$\mathscr{V}$.

Fix $W_0\in\mathscr{W}$ $x_0\in W_0$ arbitrariamente. Si $W\in\mathscr{W}$$W_0\cap W\ne\varnothing$, se puede elegir una $x\in W_0\cap W$. $\mathscr{W}$ es un baricéntrico refinamiento de $\mathscr{V}$, por lo que hay algunos $V_W\in\mathscr{V}$ tal que $W_0\cup W\subseteq\operatorname{st}(x,\mathscr{W})\subseteq V_W$. Por otra parte, $x_0\in W_0$, lo $W\subseteq V_W\subseteq\operatorname{st}(x_0,\mathscr{V})$. Y $\mathscr{V}$ es un baricéntrico refinamiento de $\mathscr{U}$, por lo que hay un $U\in\mathscr{U}$ tal que $\operatorname{st}(W_0,\mathscr{W})=\bigcup\{W\in\mathscr{W}:W_0\cap W\ne\varnothing\}\subseteq\operatorname{st}(x_0,\mathscr{V})\subseteq U$. En otras palabras, $\mathscr{W}$ es una estrella de refinamiento de $\mathscr{U}$.

Deje $M=\bigcup\{W\times W:W\in\mathscr{W}\}$; claramente $M$ es una nbhd de la diagonal. Supongamos que $\langle x,y\rangle,\langle y,z\rangle\in M$ algunos $x,y,z\in X$. Luego hay $W_0,W_1\in\mathscr{W}$ tal que $x,y\in W_0$$y,z\in W_1$, y desde $W_0\cap W_1\ne\varnothing$, hay un $U\in\mathscr{U}$ tal que $W_0\cup W_1\subseteq U$. A continuación,$x,z\in U$, lo $\langle x,z\rangle\in U\times U\subseteq N$, como se desee.

En la respuesta a la que he enlazado más arriba me mostró que $\mathfrak{N}$ es completa, por lo que sólo queda comprobar que genera la topología $\tau$. Como de costumbre, para cada una de las $N\in\mathfrak{N}$ $x\in X$ deje $N[x]=\{y\in X:\langle x,y\rangle\in N\}$, y vamos a $\mathscr{N}=\{N[x]:N\in\mathfrak{N}\text{ and }x\in X\}$; $\mathscr{N}$ es una base para la topología $\tau_\mathfrak{N}$ generado por $\mathfrak{N}$. Los miembros de $\mathfrak{N}$ están abiertas en $X\times X$, lo $\mathscr{N}\subseteq\tau$. Por otro lado, supongamos que $\varnothing\ne V\in\tau$, y vamos a $x\in V$. $X$ es $T_3$, por lo que existe un conjunto abierto $U$ tal que $x\in U\subseteq\operatorname{cl}U\subseteq V$; deje $W=X\setminus\operatorname{cl}U$. A continuación, $\{U,W\}$ es una cubierta abierta de a $X$, lo $N=(U\times U)\cup(W\times W)\in\mathfrak{N}$. Claramente $x\in N[x]=U\subseteq V$, lo $V\in\tau_\mathfrak{N}$. Por lo tanto, $\tau_\mathfrak{N}=\tau$, y la prueba está completa.