Teorema fundamental del cálculo para el jacobiano

Question

Sea $J_x$ denotan el operador Jacobiano de la función $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ .

¿Cuál es el enunciado correcto del teorema fundamental del cálculo para este caso?

Es decir, ¿podemos escribir \begin{align} f(x_2)-f(x_1) =\int (J_x f) \cdot dx \end{align}

donde $\int$ es una integral propia que se integra en un camino desde $x_1$ a $x_2$ .

Una referencia sería muy apreciada.

Answer 1

Técnicamente, el jacobiano interviene en la integración sólo cuando se produce un cambio de variables. Por ejemplo, al cambiar de coordenadas cartesianas a polares, tendríamos $x = r \cos \theta$ y $y = r \sin \theta$ . En lugar de $dy dx$ como su factor integrador, tendría el producto del jacobiano y $dr d\theta$ .