[EDIT: Esta pregunta, tal como está redactada, contiene un error flagrante. Es una especie de "no es una pregunta real"? Pero me resisto a la tentación de borrarla, porque voy a convertirla en una pregunta de verdad].
Suelo prestar mucha atención a cuándo importan los puntos de base y cuándo no. Actualmente hay algo que me preocupa:
Consideremos la "categoría homotópica" de unbased $1$ -es decir, empezar con espacios que tengan una componente de camino y un grupo fundamental trivial, con mapas no basados como morfismos, e invertir las equivalencias débiles de homotopía. O, si lo prefiere, empiece con $CW$ espacios de ese tipo y pasar a clases de homotopía. Supongo que esto NO es realmente (equivalente a) la categoría de homotopía de cualquier categoría modelo, por eso he usado comillas arriba.
[EDIT: Como señala Fernando Muro en su respuesta, la frase anterior es obviamente incorrecta. La estructura del modelo descrita en el párrafo siguiente, con su uso artificial de un punto base, hace el trabajo].
Si hago lo mismo con los puntos de base, no hay problema. Por ejemplo, puedo tomar la categoría habitual de espacios de base pero declarar que las equivalencias débiles son los mapas que inducen isomorfismos de $\pi_j$ para todos $j\ge 2$ en el punto base. Entonces cada objeto es equivalente a un $1$ -(de hecho, si se utilizan las fibraciones habituales, todos los objetos cofibrantes son $1$ -), y la categoría de homotopía es la prevista. Lo mismo ocurre con $k$ -espacios de base conectados para otros valores de $k$ .
En $k=0$ es fácil ver que la "categoría de homotopía" de $k$ -no es una categoría homotópica de una categoría modelo. De hecho, carece de coproductos. (Ejercicio: no hay ningún ejemplo universal, hasta la homotopía, de un espacio conectado por caminos equipado con dos mapas del círculo). Esto es suficiente, porque el coproducto (colímite de diagrama discreto) de objetos cofibrantes en una categoría modelo es siempre un colímite de homotopía.
En $k=-1$ (para que $k$ -espacios no vacíos) es aún más fácil de ver: La categoría de homotopía de espacios no vacíos no tiene objeto inicial.
[EDIT: lo dejaré así aunque la respuesta es, pensándolo bien, obviamente "no"].
PREGUNTA 1: ¿Es cierto que la categoría homotópica de (sin base) $1$ -¿los espacios conectados no pueden ser la categoría homotópica de una categoría modelo?
Esto no es tan obvio. No se puede decir algo así como "una categoría de homotopía debe tener todos los límites y colímites" porque los límites y colímites de homotopía no son de hecho límites y colímites en una categoría de homotopía en general -- la categoría de homotopía de espacios no tiene pullbacks.
(Supongo que la mayor parte de lo que he dicho más arriba se aplica más o menos a otras formas populares de axiomatizar la teoría de homotopías, tales como $\infty$ -categorías).
Aparte de esta cuestión técnica, tengo una vaga pregunta filosófica:
PREGUNTA 2: Si la respuesta a la pregunta 1 es "sí", ¿cuál es la respuesta correcta?
Pienso, por ejemplo, en la teoría racional de la homotopía. Recuerdo que cuando Quillen elaboró una equivalencia indirecta entre, por un lado $1$ -y equivalencias racionales y por otro lado $0$ -de coalgebras graduales diferenciales conmutativas sobre $\mathbb Q$ utilizó espacios basados y coalgebras coaugmentadas. Está claro por qué. Pero la equivalencia de Sullivan entre la teoría racional de homotopías de espacios simplemente conexos y las dgas conmutativas funciona sin puntos de base, ¿no? No lo hace en un marco de categoría de modelos y (esto no viene al caso) necesita condiciones de tipo finito. No parece natural insistir en los espacios con base sólo por el bien de los axiomas (de categoría de modelo o de otro tipo). Por otro lado, son axiomas tan bonitos...
