Wikipedia dice que una de las propiedades más importantes de los espacios de primer recuento es que dado cualquier subconjunto $A$ de un espacio topológico $(X,\tau)$ tenemos la siguiente equivalencia : $x\in \bar A \iff \exists(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}\in A^{\mathbb{N}} : lim\ a_{n}=x $ . Así que sin esta propiedad en un espacio topológico la equivalencia falla más precisamente la parte (P) $x\in \bar A \implies \exists(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}\in A^{\mathbb{N}} : lim\ a_{n}=x$ . Ahora bien, si consideramos el espacio $(\mathbb{R},\tau_{C})$ donde $\tau_{C}$ es la topología cofinita entonces este espacio no es contable en primer lugar, sin embargo no puedo encontrar un ejemplo donde (P) falle ya que en la topología cofinita si $x_{n}$ es una secuencia, entonces cualquier punto del espacio es un límite de $x_{n}$ .
Respuesta
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La página de Wikipedia dice que un primer espacio contable es Fréchet-Urysohn, que es un nombre elegante para la propiedad de que el cierre de un conjunto es precisamente el conjunto de posibles límites secuenciales de ese conjunto.
Resulta que la topología cofinita sobre un conjunto incontable es un ejemplo de espacio de Fréchet-Urysohn que no es contable en primer lugar (por lo que esta propiedad deseable no es equivalente a ser contable en primer lugar). Así que no existe ningún ejemplo.
Un ejemplo mejor en este sentido es la topología contable en digamos $\Bbb R$ . Tampoco es contable en primer lugar, pero como cualquier secuencia convergente es finalmente constante, ciertamente tampoco es Fréchet-Urysohn.
