Integre $y=\int x^x(\ln x+1)\ dx$

Question

$$y=\int x^x(\ln x+1)\ dx$$ Intenté la integración por partes pero se complicó. Así que hice esto: $$dy=x^x(\ln x+1)$$ $$\frac1{x^x}dy=\ln x+1$$ $$\int\frac1{x^x}\ dy=\int(\ln x+1)\ dx=x\ln x=\ln x^x$$ Comparación con $\int\frac1y\ dy=\ln y$ concluí $y=x^x+K$ . ¿Hay algún problema con este método?

Answer 1

La integración por partes es innecesaria, ya que la integral es susceptible de una única sustitución, elegida con buen criterio. Nota $$x^x = e^{x \log x}.$$ Entonces, ¿cuál es la derivada de $x \log x$ con respecto a $x$ ?

Answer 2

En primer lugar $\int\frac1{x^x}\ dy$ es un paso equivocado porque $x$ y $y$ son dos interdependiente variables ( Ninguna de ellas es constante entre sí ).

Ahora para la respuesta de $y=\int x^x(\ln x+1)\ dx$ ,

considere $$ \frac{d(x^x)}{dx}=\frac{d(e^{xlnx})}{dx}=e^{xlnx}\frac{d(x\ln{x})}{dx}=e^{xlnx}(\ln{x}+1)=x^x(\ln{x}+1) $$ Así que.., $$ y=\int x^x(\ln x+1)\ dx=\int \frac{d(x^x)}{dx} dx=x^x+K $$

Answer 3

Ponga $x^x=y$ y encontrar el $y'$ . Tenemos $$y=x^x/\ln$$ $$\ln y=\ln x^x/'$$ $$\ln y=x\ln x$$ $$y'\cdot\frac{1}{y}=\ln x+1/\cdot y$$ $$y'=y(\ln x+1)$$ $$y'=x^x(\ln x+1)$$

Para el ejemplo dado, tenemos:

$$\int x^x(\ln x+1)dx=\int y' dy=\left(\int ydy\right)'=y=x^x+C$$