Sustitución de números por raíces de cuadrática

Question

Tenemos $10$ números en el intervalo $(0,1)$ no necesariamente distintos. En cualquier momento, podemos elegir dos de ellos, $a$ y $b$ . Si la cuadrática $x^2-ax+b$ tiene dos raíces reales (posiblemente idénticas), podemos sustituir $a$ y $b$ por las dos raíces. ¿Puede este proceso durar siempre?

Un caso interesante es cuando $a=b$ . El polinomio es $x^2-ax+a$ que tiene raíces $\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4a}}{2}$ pero cuando $a\in(0,1)$ , este no es un número real.

Answer 1

-Primero hay que tener en cuenta que para que esto tenga verdadero arraigo tenemos que tener $a^2-4b >0$ que para $a,b \in (0,1)$ implica $a > b$ . De hecho, implica $a >4b$ pero no creo que lo necesite.

-A continuación, tenga en cuenta que si una elección particular de $a,b$ tiene raíces reales entonces están estrictamente entre $b$ y $a$ .

-Esto significa que en cualquier paso el valor mínimo de nuestro $10$ las cifras sólo pueden aumentar o permanecer igual. Llamemos al valor inicial más pequeño $b_0 >0$ .

-Ahora considera la suma de nuestros $10$ números. Si sustituimos dos números $a,b$ en este proceso, esta suma se reduce en $b$ . En particular, se reduce en al menos $b_0$ pero también tiene que ser siempre positivo. Por lo tanto, vemos que este proceso no puede ser eterno.