Si $T$ sea una normal compacta y $c\in\sigma(T)$ (espectro de $T$ ), $c\ne 0$ . Demuéstralo, $c$ es un valor propio de $T$

Question

Aquí $\sigma(T):=\{c\in\Bbb{C}|\ T-cI\text{ is not invertible}\}$ . Sé que el resultado anterior es válido para operadores compactos y autoconjuntos.

Puedo escribir $T=A+iB$ où $A=\frac{T+T^*}{2}$ y $B=\frac{T-T^*}{2i}$ . Aquí $A,B$ es un operador compacto y autoadjunto con $AB=BA$ (Ya que $T$ es normal).

Creo que de todos modos tengo que utilizar el resultado para operador compacto y autoadjunto (en $A,B$ posiblemente) para demostrar el resultado similar para $T$ (compacto, normal).

Pero no tengo ni idea de cómo proceder. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Sea $v$ sea un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ . Entonces $$ \lambda B v = B \lambda v = BA v = AB v, $$ así que $Bv$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ también. De ahí $B \ker (A - \lambda I) \subset \ker (A - \lambda I)$ . Y lo mismo vale para $B$ .

Denote $(\alpha_i)_{1\le i \le N_A}$ y $(\beta_j) _{1\le j\le N_B}$ las secuencias de valores propios distintos de cero de $A$ y $B$ respectivamente.

Por lo tanto, para cada valor propio $\alpha_i$ de $A$ y para cada valor propio $\beta_j$ de $B$ $\ker (A - \alpha_i I) \cap \ker (B - \beta_j I)$ es un subespacio invariante tanto para $A$ y $B$ . Sea $(\varphi^{ij}_k)_{1\le k \le N_{ij}} $ sea una base ortonormal de este subespacio (o sólo un vector cero si la intersección es cero). Por tanto, $$ A = \sum_{i = 1}^{N_A}\sum_{j = 1}^{N_B}\sum_{k=1}^{N_{ij}}\alpha_{i} \langle \varphi_{k}^{ij}, \cdot \rangle \varphi_{k}^{ij}, $$ $$ B = \sum_{i = 1}^{N_A}\sum_{j = 1}^{N_B}\sum_{k=1}^{N_{ij}}\beta_{j} \langle \varphi_{k}^{ij}, \cdot \rangle \varphi_{k}^{ij}. $$ (Aquí he utilizado la descomposición de Hilbert-Schmidt).

Por lo tanto, $$ T = \sum_{i = 1}^{N_A}\sum_{j = 1}^{N_B}\sum_{k=1}^{N_{ij}}(\alpha_{i}+i\beta_j) \langle \varphi_{k}^{ij}, \cdot \rangle \varphi_{k}^{ij}. $$