¿Hay alguna forma de separar las partes real e imaginaria de las raíces de un polinomio sin conocer las raíces del polinomio?

Question

Dado un primer polinomio, ¿es posible construir un segundo polinomio cuyas raíces sean sólo las partes imaginarias (o, del mismo modo, sólo las reales) de las raíces del primer polinomio? sin conocer las raíces del primer polinomio ?

Creo que no es posible, pero me interesa conocer su opinión al respecto.

Answer 1

Puedes empezar con un polinomio normalizado de segundo grado $p(z)=(z-z_1)(z-z_2)$ .

Si conocemos las raíces del primer polinomio, podemos formular el segundo polinomio

$$g(z)=\left(z-\dfrac{z_1+\overline{z}_1}{2}\right) \left(z-\dfrac{z_2+\overline{z}_2}{2}\right).$$

El subrayado designa el conjugado complejo. Si expandes esta expresión verás que no hay una expresión simple que dependa de $p(z)$ .

Por lo tanto, concluyo que no es posible hacer lo que pide. Puede intentar un enfoque similar para la parte imaginaria de las raíces con $(z-\overline{z})/2$ para la parte imaginaria de la raíz correspondiente. Sólo el polinomio lineal trivial permite este procedimiento porque conocemos directamente las raíces.