Una prueba rápida de que cualquier grupo abeliano compacto Hausdorff de exponente finito es profinito

Question

Sé que Edwin Hewitt y Kenneth A. Ross (1970) muestran: Cualquier grupo compacto de torsión Hausdorff es profinito.

Pero no tengo el libro, la demostración me parece larga y sólo necesito el caso de grupos abelianos con exponente finito.

Le agradecería que me diera una prueba rápida para el caso.

Answer 1

[Asumo que todos los grupos topológicos son Hausdorff].

Esto se deduce fácilmente de la dualidad de Pontryagin. Supongamos $G$ es un grupo abeliano compacto de torsión. Por dualidad de Pontryagin, homomorfismos continuos $G\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ puntos separados de $G$ . Pero como $G$ es de torsión, cualquier homomorfismo $G\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ cae en el subgrupo de torsión de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ que es $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ . Además, la imagen de cualquier homomorfismo continuo es cerrada ya que $G$ es compacto, y cualquier subgrupo cerrado de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ que figura en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es finito.

Por tanto, todo homomorfismo continuo $G\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ tiene imagen finita. Por tanto, los homomorfismos continuos de $G$ a grupos finitos separan puntos de $G$ Así que $G$ es profinita.

(Por cierto, un grupo abeliano compacto de torsión tiene automáticamente exponente finito; véase https://mathoverflow.net/a/460/75 por ejemplo. Si conoce $G$ tiene exponente $n$ el argumento anterior se puede acortar ya que se puede ver inmediatamente que la imagen de cualquier homomorfismo $G\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ debe estar contenido en el $n$ -subgrupo de torsión $\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ que es finito).