En estos momentos estoy aprendiendo análisis complejo elemental y, al ver todas las propiedades interesantes que presentan, no he podido evitar preguntarme:
Si $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ es una función real bidimensional continuamente diferenciable, ¿qué condiciones (mínimas) podemos imponer a $f$ tal que presente algunas de las propiedades interesantes de las funciones holomorfas? ¿Hasta qué punto es esto posible? Es decir, ¿hay propiedades de las funciones holomorfas cuya satisfacción sólo está garantizada en casos triviales?
Esencialmente, lo que estoy preguntando es cuál es el mejor equivalente/paralelo que tenemos en el ámbito de la vida real. $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ a funciones holomorfas?
En cuanto a lo que tengo hasta ahora, si queremos asegurarnos de que las integrales de trayectorias cercanas (digamos una curva $l$ rodear una zona $D$ ) son siempre $0$ dentro de dominios convexos tenemos, por el teorema de stokes:
$$\oint_{\partial D}f(x,y)\cdot dl = \iint_{D}(\nabla\times f) \cdot dxdy=0$$ Y como esta igualdad debe cumplirse en todas partes y en superficies arbitrariamente pequeñas $D$ concluimos que $\nabla \times f = 0$ en todas partes.
Si vamos más lejos, podemos deducir que la condición anterior se cumple si y sólo si $$f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)), \quad\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}$$ que es similar a una de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Si en su lugar exigimos que $\nabla \cdot f=0$ podemos deducir $$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}$$ que es similar a la otra ecuación de Cauchy-Riemann.
¿Son entonces las funciones que cumplen ambas condiciones un buen paralelo de las funciones holomorfas? ¿Y son objeto específico de estudio de alguna teoría matemática?
