La subjetividad es una propiedad local

Question

Intento demostrar que la subjetividad es una propiedad local, es decir, para un anillo $R$ y $R$ -módulos $M$ y $N$ ,

$f: M \to N$ es suryectiva si y sólo si $f_{\mathscr{M}}:M_{\mathscr{M}} \to N_{\mathscr{M}}$ es suryectiva para todos los ideales maximales $\mathscr{M}$ de $R$ donde $M_{\mathscr{M}}$ es la localización en $\mathscr{M}$ .

Una de las direcciones es fácil, pero tengo problemas para ver cómo probar que $f_{\mathscr{M}}:M_{\mathscr{M}} \to N_{\mathscr{M}}$ es suryectiva para todos los ideales maximales implica que $f: M \to N$ es suryectiva.

Atiyah Macdonald dice que hay que invertir las flechas en la prueba de inyectividad (que utiliza secuencias exactas), pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La exactitud es una propiedad local. Por lo tanto, la exactitud de $M \to N \to 0$ da que la subjetividad es una propiedad local, al igual que mirar la exactitud de $0 \to M \to N$ da que la inyectividad es una propiedad local.

Hacer como dicen Atiyah y Macdonald, invirtiendo las flechas en su prueba de inyectividad, funciona con cierto cuidado.

Reclamación: $f\colon M \to N$ es suryectiva si y sólo si $f_m \colon M_m \to N_m$ es suryectiva para todo ideal maximal $m$ de $R$ .

Prueba: (Las referencias son a Atiyah Macdonald y esta demostración es una adaptación de su demostración de la Proposición 3.9)

$(\to)$ Supongamos que $f$ es suryectiva. Entonces $M \to N \to 0$ es una secuencia exacta. Porque la localización preserva la exactitud (Proposición 3.3), $M_m \to N_m \to 0$ es exacta para todos los ideales maximales $m$ de $R$ y, por tanto, cada $f_m \colon M_m \to N_m$ es suryectiva.

( $\leftarrow$ ) Supongamos que $f_m \colon M_m \to N_m$ es suryectiva para todo ideal maximal $m$ de $R$ . Sea $N' = N/\text{Im}(f)$ sea el cokernel de $f$ . Entonces la secuencia $M \to N \to N' \to 0$ es exacta y, de nuevo porque la localización preserva la exactitud, $M_m \to N_m \to N'_m \to 0$ es exacta. Porque la localización conmuta con los cocientes (Corolario 3.4), $N'_m$ es isomorfo al cokernel de $f_m$ . Porque $f_m$ es suryectiva, este cokernel es $0$ Así que $N'_m = 0$ para todo ideal maximal $m$ de $R$ . Por lo tanto, por ser el $0$ -es una propiedad local (Proposición 3.8), $N' = 0$ . Así que los tres primeros términos de la secuencia exacta $M \to N \to N' \to 0$ son realmente $M \to N \to 0$ lo que significa que $f$ es suryectiva. $\square$

No se trata sólo de invertir las flechas en la prueba de inyectividad, sino también de observar el cokernel de $f$ en lugar de en el núcleo.

Answer 2

Quiere demostrar $f(M)=N$ . Consideremos el módulo cociente $\frac{N}{f(M)}$ .

Existe un resultado que dice que, un $R$ -módulo $M$ es módulo cero si $M_{\mathfrak{m}}=0$ para todo ideal maximal $\mathfrak{m}$ de $R$ .

Mira el cociente $\left(\frac{N}{f(M)}\right)_{\mathfrak{m}}$ . Un elemento en $\left(\frac{N}{f(M)}\right)_{\mathfrak{m}}$ será del for $\frac{[n]}{a}$ donde $a\in R\setminus \mathfrak{m}$ .

En $\frac{n}{a}\in N_{\mathfrak{m}}$ existe $b(\mathfrak{m})\in M_{\mathfrak{m}}$ tal que $f_{\mathfrak{m}}(b(\mathfrak{m}))=\frac{n}{a}$ . Demuestre que esto significa $\frac{[n]}{a}=0$ .

Así, $\left(\frac{N}{f(M)}\right)_{\mathfrak{m}}=0 $ para todo ideal maximal $\mathfrak{m}$ . Así, $\frac{N}{f(M)}=0$ es decir, $f(M)=N$ .

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Pista para el siguiente resultado

$M_{\mathfrak{m}}=0$ para todos los ideales maximales $\mathfrak{m}$ de $R$ implica $M=0$ .

Sea $a\in M$ es tal que $a\neq 0$ .

Consideremos el ideal aniquilador $\text{Ann}(a)$ de $a$ . Esto será en algún ideal maximal $\mathfrak{m}$ .

Localice $M$ en este $\mathfrak{m}$ y utilizar ese $M_{\mathfrak{m}}=0$ . Acabarás con $a=0$ . Así, $M=0$