Demostrar que si $f$ es diferenciable en $c$ (es decir, $\lim_{x\to c} {f(x)-f(c)\over x-c}$ existe), entonces $f'(c) = \lim_{h\to 0}{f(c+h)-f(c)\over h}.$

Question

Demostrar que si $f$ es diferenciable en $c$ entonces $f'(c) = \lim_{h\to 0}{f(c+h)-f(c)\over h}$ .

Hice esto: Si f es diferenciable en $c$ entonces es continua en $c$ lo que implica,

$\lim_{x\to c}$ $f(x)=f(c)$ sólo si $\lim_{h\to 0}$ $f(c+h)-f(c)=0$ .

Entonces dividiendo por $h$ ,

$$\lim_{h\to 0}{f(c+h)-f(c)\over h}=f'(c).$$

No sé si esto es correcto, me parece un poco arbitrario.

Edición: La definición de derivado es la siguiente- Si $f$ es diferenciable en un punto a entonces existe el siguiente límite: $\lim_{x\to a} {f(x)-f(a)\over x-a}$ .

Answer 1

Así que, por lo que tengo entendido, la cuestión se reduce a demostrar la equivalencia de dos definiciones de la derivada. Esto es lo que usted comienza con:

Si $f$ es diferenciable en $x=a$ existe el siguiente límite y es igual a $f'(a)$ : $\lim_{x\to a} {f(x)-f(a)\over x-a}$

Ahora, pon $x-a=h$ es decir $x = a + h$ . $x \to a$ es lo mismo que $h \to 0$ para que finalmente lo consigas:

$f'(a) = \lim_{h\to0} {f(a+h)-f(a)\over h}$ como desee.

Answer 2

La definición de $f'(c)$ es que si $\lim_{h\to 0}\frac {f(c+h)-f(c)}{h}$ entonces este límite es $f'(c),$ y si este límite no existe entonces $f'(c)$ no existe.

" $f $ es diferenciable en $c$ "es otra forma de decir que $f'(c)$ existe.

Answer 3

Sin embargo, esa respuesta está hecha y aceptada, pero mirando los comentarios bajo OP, permítanme decir, que aquí tenemos pregunta acerca de la equivalencia de diferenciabilidad y existencia de derivada :

1. Diferenciabilidad (Rudin W. - Principios de análisis matemático-(1976) 212-213 p.). Supongamos $f$ se define en $(a,b) \subset \mathbb{R}$ . Decimos que $f$ es diferenciable en $x \in (a,b)$ si existe una correspondencia lineal $A:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-Ah}{h}=0$$ a este mapeo lineal lo llamamos diferencial y denotamos $df(x)(h)=Ah$

2. Derivado .(Mismo libro que el anterior 211p) Decimos, que $f$ tienen derivada en $x \in (a,b)$ cuando existe $$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=B$$ y $B$ que denotamos como $B=f'(x)$

Ahora la primera frase de OP significa, que estas 2 definiciones son equivalentes: si existe $A$ en primer lugar, luego existe $B$ del segundo y son iguales. Invierte también.

Así que $df(x)(h)=f'(x)h$ . Más información en aquí .