Sea $f\in C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ uniformemente continua.
Demostrar o refutar que la derivada de $f$ está limitada.
Creo que la respuesta es no, pero ¿cómo puedo encontrar un contraejemplo explícito?
Respuesta
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Considere $$ f(x)=\frac{\sin\left(e^x\right)}{1+x^2} $$ La derivada es ilimitada: $$ f'\left(x\right)=\frac{-x\sin\left(e^x\right)}{\left(1+x^2\right)^2} + e^x\frac{\cos\left(e^x\right)}{1+x^2} $$ pero la función es uniformemente continua:
Sea $\epsilon>0$ . Podemos encontrar un conjunto compacto $K=[-a, a]$ para algunos $a>0$ tal que para $x\not\in K$ tenemos $$ \left|f(x)\right|<\frac{1}{2}\epsilon $$ Entonces, para cualquier $x, y \not\in K$ tenemos $\left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$ . Sea $K'=[-2a, 2a]$ . Las funciones continuas son uniformemente continuas en conjuntos compactos, por lo que existe $\delta>0$ tal que la misma desigualdad se cumple para $x, y\in K'$ . Si es necesario, ajuste $\delta$ para que $\delta<a$ . Entonces, si $\left|x-y\right|<\delta$ implica que $x,y\in K'$ o $x, y \not\in K$ (o ambos). En el primer caso, tenemos $\left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$ . En el segundo, $x,y\not\in K$ y la desigualdad también se cumple. Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua.
