Demostrar que $(1-x)^n \leq 1 -xn+\frac{n(n-1)}{2}x^2$ cuando $0\leq x\leq 1$ y $n\geq2$

Question

Leyendo un libro vi esta desigualdad $$ (1-x)^n \leq 1 -xn+\frac{n(n-1)}{2}x^2 $$ cuando $0\leq x\leq 1$ y siguiendo al autor descendía del principio de inclusión-exclusión. No entiendo por qué. Además, ¿hay una prueba sencilla de esta desigualdad?
Gracias

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He intentado demostrar la desigualdad de la siguiente manera:

Del teorema del binomio: $$ (1-x)^n = \sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}(-1)^{k}x^k=1 -xn+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\sum_{k=3}^{n}{{n}\choose{k}}(-1)^{k}x^k $$ y por eso tenemos que demostrarlo: $$ \sum_{k=3}^{n}{{n}\choose{k}}(-1)^{k}x^k\leq0 $$ cuando $0\leq x\leq1$ .
He intentado utilizar la desigualdad $$ \sum_{k=3}^{n}{{n}\choose{k}}(-1)^{k}\leq0 $$ que puedo probar de $0=(1-1)^n$ y luego he intentado agrupar algunos términos en la suma pero sin éxito.

Answer 1

Si es cierto para algunos $n$ entonces \begin{align} (1-x)^{n+1}&\le(1-x)\left(1-nx+\frac{n(n-1)}2x^2\right)\\ &=1-(n+1)x+\frac{(n+1)n}2x^2-\frac{n(n-1)}2x^3\\ &\le1-(n+1)x+\frac{(n+1)n}2x^2. \end{align} y ahora utilizan la inducción.

Answer 2

La interpretación en términos del principio de inclusión-exclusión tampoco es demasiado difícil, aunque podría volverse farragosa. Consideremos una moneda con probabilidad $x \in (0, 1)$ de girar cabezas. Supongamos que queremos hallar la probabilidad de obtener sólo Cruz al lanzar $n$ dichas monedas. La probabilidad es obviamente $(1-x)^n$ por la independencia de los acontecimientos.

Por otro lado, podemos considerar la probabilidad de todos los sucesos, es decir $1$ y reducir a partir de ella la probabilidad de todos los sucesos en los que sale cara en cada moneda individualmente. Esto nos lleva a $1-nx$ ya que hay $n$ monedas. Sin embargo, el segundo término cuenta claramente por partida doble los casos en los que aparecen simultáneamente dos caras, por lo que volvemos a sumarlos, es decir $\binom{n}{2}x^2$ para obtener $1-nx+\frac12n(n-1)x^2$ . Observamos que en el último término se han contado doblemente todos los casos en los que tres monedas tenían Cara simultáneamente, por lo que se trata de una sobreestimación, así que $(1-x)^n \leqslant 1-nx+\frac12n(n-1)x^2$

Answer 3

Para $n=2$ la prueba es trivial, consideramos $n>2$ .

Sea $f(x) = (1-x)^n$ y $g(x)=1-nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2$ . Usted tiene claramente $$f(0) = g(0),\quad f'(0) = g'(0),\quad f''(0)=g''(0)$$

Sin embargo, la tercera derivada escribe $$ f'''(x) = -n(n-1)(n-2) (1-x)^{n-3} < 0 = g'''(x).$$ Dado que $f''(0)=g''(0)$ es fácil ver que $\forall x\in[0,1]\, f'(x)\le g'(x)$ . Ahora usa $f(0)=g(0)$ para obtener que $\forall x\in[0,1]\, f(x)\le g(x)$ .

Answer 4

Se puede aplicar Taylor en torno a 0. Sea $f = (1-x)^n$ entonces $f'(0) = -n$ , $f''(0) = n (n-1)$ y $f'''(\xi) = -n(n-1)(n-2)(1 - \xi)^{n-3}$ .

$$(1-x)^n = 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 + \frac{f'''(\xi)}{6} \, x^3,$$

para algunos $\xi \in [0, x]$ . Desde $x \leq 1$ , $f'''(\xi) \leq 0$ por lo que el término restante no es positivo.