¿Cuál es el significado físico de $i=\sqrt{-1}$ ?
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Mark H
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El símbolo $i$ es sólo eso: un símbolo. Es una marca en un trozo de papel. Tiene tanto significado físico como $1$ . Los humanos inventamos y reinventamos reglas para manipular estos símbolos de modo que, al final de un cálculo, las marcas al pie de la página se correspondan con algún aspecto de la realidad (con suerte).
Este símbolo tiene diferentes significados en diferentes contextos, al igual que $1$ . Las normas para trabajar con $i$ lo hacen apto para describir fenómenos periódicos: Circuitos de corriente alterna, ondas y rotaciones, por citar sólo algunos. Las transformadas de Fourier son una forma frecuente y potente de utilizar los números complejos en este ámbito.
A menos que seas un platónico matemático, los números no tienen significado físico. Sólo son adjetivos muy rigurosos que podemos utilizar para describir nuestro mundo.
Mark
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El hecho de que :
$$e^{ix}=cos\theta+i\,sin\theta$$
es una relación bastante importante que significa que podemos manejar propiedades ondulatorias utilizando una exponencial compleja si queremos.
El hecho de que :
$$z = x+iy$$
donde $z$ es un número complejo y $x$ y $y$ son valores reales, conduce a una forma de describir los números complejos como si estuvieran en un plano bidimensional (el $x-y$ avión). Así pues, los números complejos pueden considerarse como la representación de dos valores que se transforman de una forma determinada (para ajustarse a la aritmética compleja).
Combinando estas dos cosas, a veces podemos modelar sistemas físicos utilizando números complejos.
Sin embargo, no hay ninguna realidad física intrínseca asociada a los números complejos. Son simplemente una extensión de los números reales y forman un sistema matemático más completo. Pero hay formas más sofisticadas de números (como los cuaterniones) que van incluso más allá de los números complejos, y los físicos también les han encontrado utilidad. Tendemos a encontrar usos para cosas así, bueno, "nosotros" somos gente más inteligente que yo, por lo general.
Si se puede decir que los números complejos tienen cualquier El significado físico es que si los resultados te dan valores complejos para cosas como la distancia, la masa y la energía (que deberían ser números reales), entonces el resultado es imposible y, o bien el escenario que estás modelando es imposible, o bien has metido la pata con las matemáticas en alguna parte.
Jos Gibbons
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Rotaciones en $2$ -son equivalentes a la multiplicación por números complejos unitarios, porque $SO(2)$ es isomorfo a $U(1)$ . Como resultado, $e^{ix}=\cos x + i\sin x$ es periódica. En física clásica, esto facilita la resolución de algunos problemas de órbita plana y ecuaciones de onda. Pero no fue hasta la teoría cuántica cuando surgió una relevancia física más profunda de los números complejos. Lo comento en el siguiente párrafo (se ofrece un tratamiento más completo ici ).
La conservación de la probabilidad exige que los cambios infinitesimales en un sistema cuántico estén gobernados por operadores complejo-exponenciales (que son unitarios) en lugar de sus homólogos real-exponenciales. Los factores de $i$ surgen por todas partes como resultado, como en los operadores de energía y de momento (dando lugar a la ecuación de Schrödinger, una ecuación de calor con una $i$ ) y en conmutadores de observables (los observables son hermitianos, por lo que sus conmutadores son antihermitianos, es decir. $i$ veces una cantidad hermitiana; una teoría real no puede escalar de forma similar los operadores simétricos para obtener conmutadores de operadores simétricos, que son la contrapartida real de los hermitianos).
