Mostrar que $\mathrm{SO}_3(\mathbb{Q}_p) \simeq \mathrm{SL}_2(\mathbb{Q}_p) $

Question

He leído en un periódico que el $\mathrm{SO}_3(\mathbb{Q}_p) \simeq \mathrm{SL}_2(\mathbb{Q}_p) $ esto es contrario a la intuición / sorprendente, ya que el $\mathrm{SO}_3(\mathbb{R}) \not \simeq \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $

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Yo no sé acerca de $p$-ádico números, pero sí los números de pequeñas rotaciones $1$, además de un sesgo de simetría de la matriz:

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] + \left[ \begin{array}{rrr} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$$

Por lo tanto, una rotación de una esfera se define por los tres números de $a,b,c \in \mathbb{R}$. Después, un elemento de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$:

$$ \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]: ad-bc=1 $$

Estos también tienen tres números, por lo menos en los dos espacios se $3$ dimensiones, sino $\mathrm{SO}_3(\mathbb{R})$ es compacto, mientras que $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ no es compacto. Por ejemplo, una matriz como: $$ \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] $$ y podemos usar cualquier número en lugar de $2$ (como un millón, $10^6$).

Sin embargo, recuerdo que la lectura de ese $\mathrm{SO}(2,1, \mathbb{R})\simeq \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ para hacer las cosas más confusas.

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Podemos obtener cualquier tipo de identificación cuando tratamos de $\mathbb{Q}_p$ en lugar de $\mathbb{R}$?

Answer 1

La cosa es que, como contraposición al caso de $\mathbb{R}$, hay pocos anisotrópico cuadráticas formas de $\mathbb{Q}_p$. En efecto, más de la $\mathbb{Q}_p$, el estándar de la forma cuadrática $\langle 1,1,1\rangle$ no es anisotrópico, pero es isométrico a $\langle 1,-1,-1\rangle$, por lo que da su declaración de la $SO_{2,1}(\mathbb{R})$ esto no debería ser demasiado sorprendente.

La situación es como sigue (de todas formas cuadráticas se supone que no degenrerate) : cualquier forma cuadrática $q$ $\mathbb{Q}_p$ puede ser escrito $\langle pa_1,\dots,pa_r, b_1,\dots,b_s\rangle$$a_i,b_i\in \mathbb{Z_p}^*$. A continuación, $q$ es la única que se caracteriza por $q_1 = \langle \overline{a_1},\dots,\overline{a_r}\rangle$ $q_2 = \langle \overline{b_1},\dots,\overline{b_s}\rangle$ cuales son la formas cuadráticas sobre $\mathbb{F}_p$ ; y una forma cuadrática $\mathbb{F}_p$ es la única que se caracteriza por su dimensión y de su discriminante.

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Ahora una elegante forma de ver que $SO_3(\mathbb{Q}_p)\simeq SL_2(\mathbb{Q}_p)$ es la siguiente : en general, si $Q$ es un álgebra de cuaterniones sobre un campo $K$, entonces el quaternion norma $N$ $Q$ es una forma cuadrática, y así es su restricción $q$ a pura cuaterniones $Q_0$.

Y es sabido que el mapa de $Q_1\to SO(Q_0,q)$ definido por $z\mapsto (x\mapsto zx\overline{z})$ donde $Q_1 = \{ z\in Q\,|\, N(z)=1\}$, es un isomorfismo.

EDIT : no, en realidad ha kernel $\{\pm 1\}$, y esto también es un error en su pregunta, creo. Lo que vamos a conseguir es $SL_2(\mathbb{Q}_p)/\{\pm1\} \simeq SO_3(\mathbb{Q}_p)$.

Ahora, más de la $\mathbb{R}$ hay dos cuaterniones alegbras : $M_2(\mathbb{R})$ y el de Hamilton, quternions $\mathbb{H}$, y el correspondiente $q$ son, respectivamente,$\langle 1,-1,-1\rangle$$\langle 1,1,1\rangle$, mientras que el correspondiente $Q_1$ $SL_2(\mathbb{R})$ $\mathbb{H}_1$ (que no tiene una evidente expresión más sencilla), que en particular nos da $SL_2(\mathbb{R})/\{\pm1\} \simeq SO_{2,1}(\mathbb{R})$.

Pero sobre $\mathbb{Q}_p$, los cuaterniones de hamilton y la división cuaterniones $M_2(\mathbb{Q}_p)$ son isomorfos, porque, precisamente, $\langle 1,-1,-1\rangle$ $\langle 1,1,1\rangle$ son isométrica, por lo $SL_2(\mathbb{Q}_p)/\{\pm1\}\simeq SO_3(\mathbb{Q}_p)\simeq SO_{2,1}(\mathbb{Q}_p)$.

Answer 2

Para un campo $k$, el grupo de $SL_2(k)$ actúa en el espacio de $S\subset \operatorname{End}(k^2)$ de matrices simétricas por el mapa $g.\alpha = g\alpha g^t$. Esta acción preserva $\det \alpha$, que es una forma cuadrática en $\dim S = 3$ variables. De este modo obtenemos un mapa de $SL_2(k) \to SO(V)$ para algunos una forma cuadrática $V/k$. En niza de los casos (no estoy seguro acerca de los detalles de improviso), obtenemos un isomorfismo, o, al menos, una cobertura del mapa. Que le da un mapa de $SL_2(k) \to SO(V)$ para la forma cuadrática \begin{align*} V &= \det \begin{pmatrix}X & Z \\ Z & Y\end{pmatrix} = XY - Z^2. \end{align*} Para $k = \mathbb{Q}_p$, de esta forma en realidad es isomorfo a la usual $X^2 + Y^2 + Z^2$, y así obtenemos un mapa (posiblemente un isomorfismo?) $SL_2(\mathbb{Q}_p) \to SO_3(\mathbb{Q}_p)$, a diferencia del caso real.