Pregunta sobre $L^p$ espacios

Question

Sea $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ sea una función medible. Demostrar que $$ f \in L^\infty([0,1];\mathbb{R}) \iff f \in L^p([0,1];\mathbb{R}) \ \ \forall p \ge 1 \ \text{ and } \sup_{p\ge 1}\|f\|_p<\infty. $$ Observación: Ya he resuelto la primera parte, es decir, si $f \in L^\infty([0,1];\mathbb{R})$ entonces...

Answer 1

Definir para $n$ entero $E_n:=\{x\in [0,1],g(x)\geqslant n\}$ donde $g$ es una función medible en la clase de $f$ por la igualdad en casi todas partes.

Entonces $|g(x)|^p\chi_{E_n}(x)\geqslant n^p\mu(E_n)$ lo que da, integrando que $$n\mu(E_n)^{1/p}\leqslant \sup_{p\geqslant 1}\lVert g\rVert_p=:M<\infty.$$ Así que $\mu(E_n)\leqslant \left(\frac Mn\right)^p$ . Para $n\geqslant M+1$ para cualquier $p>1$ , $$\mu(E_n)\leqslant \left(\frac M{M+1}\right)^p,$$ y tomando el límite $\lim_{p\to +\infty}$ obtenemos que $\mu(E_{M+1})=0$ Por lo tanto $f\in L^\infty$ .