demostración muy elemental del teorema de Maxwell

Question

El teorema de Maxwell (por James Clerk Maxwell) dice que si una función $f(x_1,\ldots,x_n)$ de $n$ variables reales es un producto $f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)$ y es invariante de la rotación en el sentido de que el valor de la función depende de $x_1,\ldots,x_n$ sólo a través de $x_1^2+\cdots+x_n^2$ entonces es una función exponencial de esa suma de cuadrados (por lo que $f$ es una "función gaussiana").

Supongamos que una clase de estudiantes universitarios sólo sabe lo suficiente de matemáticas para entender lo que dice el teorema (así que quizá nunca hayan oído hablar de productos internos o matrices ortogonales), pero son brillantes y pueden entender los argumentos matemáticos. ¿Qué demostración del teorema de Maxwell les enseñas? ¿Puede ser breve y sencilla?

Answer 1

Supongo que el $C^1$ regularidad de todas las funciones y el hecho de que $f$ nunca es cero. Creo que se puede demostrar que si $f$ es cero en alguna parte, entonces es cero en todas partes. La idea que se me ocurrió es la siguiente:

$$f(x_1,\ldots,x_n)=f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)=\phi(x_1^2+\cdots+x_n^2)$$

Denote $r^2=x_1^2+\cdots+x_n^2$ . Diferenciar con respecto a $x_i$ y obtener

$$f_1(x_1)\cdots f_i'(x_i)\cdots f_n(x_n)=\phi'(r^2)2x_i$$

Dividir por $f$ y obtener

$$\frac{f_i'(x_i)}{f_i(x_i)}\frac{1}{2x_i}=\frac{\phi'(r^2)}{f(x_1,\ldots,x_n)}$$

Por lo tanto, el LHS es independiente de $i$ . Puesto que cada $f_i$ depende únicamente de $x_i$ se deduce que existe una constante $C_i$ tal que $$\frac{f_i'(x_i)}{f_i(x_i)}\frac{1}{2x_i} =C_i$$ Desde aquí es fácil llegar $f_i=C_ie^{C_i x_i^2}$ de donde se deduce la conclusión. $\ $ $\ $

Answer 2

El teorema de Maxwell se demostró para describir distribución de la velocidad de las partículas . Intenta utilizar la intuición física para explicar este teorema. Por ejemplo podemos explicar por qué esta distribución es exponencial, de esta manera:

Distribución de la energía cinética $f(E)$ depende de la distribución de la energía cinética de los componentes de la velocidad $\phi(E_x),\phi(E_y),\phi(E_z)$ donde $E_x=\frac{m v_x^2}{2}$ , $E_y=\frac{m v_y^2}{2}$ , $E_z=\frac{m v_z^2}{2}$ y $E=E_x+E_y+E_z$ . Pero estas velocidades son independientes, por lo que $$ f(E_x+E_y+E_z)=\phi(E_x)\phi(E_y)\phi(E_z) $$

Considere todas las partículas con energía cinética fija $E$ y velocidad fija $v_z$ . Estas partículas pueden tener diferentes componentes de velocidad $v_x,v_y$ Pero como $E$ es fijo tenemos $$ E_x+E_y=\text{const}\tag{1} $$ $$ \phi(E_x)\phi(E_y)=\text{const} $$ La última afirmación puede reescribirse como $$ \ln\phi(E_x)+\ln\phi(E_y)=\text{const}\tag{2} $$ Dado que utilizamos un enfoque físico, podemos tomar las diferenciales de (1) y (2) de forma despreocupada $$ dE_x+dE_y=0 $$ $$ \frac{\phi'(E_x)}{\phi(E_x)}dE_x+\frac{\phi'(E_y)}{\phi(E_y)}dE_y=0 $$ Entonces obtendrá $$ \frac{\phi'(E_x)}{\phi(E_x)}=\frac{\phi'(E_y)}{\phi(E_y)} $$ El lado izquierdo es función de $E_x$ el lado derecho es función de $E_y$ . Esto es posible si $$ \frac{\phi'(E_x)}{\phi(E_x)}=\alpha_x=\text{const} $$ La solución de esta ecuación diferencial es $$ \phi(E_x)=A_x e^{\alpha_x E_x} $$ Del mismo modo, para otros componentes $$ \phi(E_y)=A_y e^{\alpha_y E_y} $$ $$ \phi(E_z)=A_z e^{\alpha_z E_z} $$ Dado que la distribución de las velocidades $v_x$ , $v_y$ y $v_z$ deben ser iguales, tenemos $A_x=A_y=A_z=A$ , $\alpha_x=\alpha_y=\alpha_z=\alpha$ . Como la probabilidad de que una partícula tenga una velocidad muy grande es pequeña entonces $\alpha<0$ Por lo tanto $$ f(E_x+E_y+E_z)=\phi(E_x)\phi(E_y)\phi(E_z)=A^3e^{\alpha(E_x+E_y+E_z)} $$ En términos de velocidades puede reescribirse como $$ f\left(\frac{m v_x^2}{2}+\frac{m v_y^2}{2}+\frac{m v_z^2}{2}\right)=A^3e^{\alpha\frac{m (v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2}} $$

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Y ahora un dato interesante. ¡Maxwell obtuvo su distribución en un examen de ingreso! Al examinador le gustaba dar problemas abiertos en física teórica, y Maxwell obtuvo una tarea para derivar la distribución de velocidades de partículas en un gas ideal. Al final del examen Maxwell mostró una solución completa del problema.

Answer 3

Sólo demuestro que si $f$ es cero en cualquier parte, entonces es cero en todas partes, para complementar la respuesta aceptada. Así que escribe $f(x_1,\ldots ,x_n)=f_1(x_1)\ldots f(x_n)= \phi(x_1^2+\ldots+x_n^2)$ . Voy a suponer $\phi$ sea continua. Supongamos que existe alguna $r$ tal que $\phi(r^2)=0$ .

Establecer $R= \inf \{ \,r \mid \phi(r^2)=0 \, \}$ . Supongamos que $R>0 $ . Es evidente que $\phi(R^2)=0$ y que $f_i(y) \neq 0$ para todos $f_i$ si $y < R$ . Obtenemos la contradicción $$ 0 \neq f_1 \left(\frac{R}{\sqrt 2}\right)f_2\left(\frac{R}{\sqrt 2}\right)f_3(0)\ldots f_n(0) =\phi(R^2)=0.$$

Por otra parte, si $R=0$ entonces para algunos $f_i$ tenemos $f_i(0)=0$ . Ahora se deduce fácilmente que $\phi$ es idénticamente cero.

Answer 4

La forma más general del teorema de Maxwell:

$ f:R^N \to [0 , \infty] $ , $ f $ es medible

$ x, y,p, q \in R^N $

Resuelva $ f (x) + f (y) = f (p) + f ( q) $ en las condiciones : $ x+y=p+q, x^2+y^2=p^2+q^2$ . En $ x^2$ es la norma de $ x $

 $\psi (x, y)=f (x) f (y) $

$ \psi (x, y) $ es constante siempre que $ x+y, x^2+y^2$ es constante. Por lo tanto $\psi (x, y)= G (x+y, x^2+y^2) $

$$f (x, x^2) f (y, y^2)= G (x+y, x^2+y^2) $$

$$f (u, v^2) f (w,z^2)= G (u+w, v^2+z^2) $$

Si hay $ u,v$ tal que $ f (u, v^2) =0$ implica $ G (u+w, v^2+z^2)=0$ . Desde $ w,z $ son arbitrarios, implica $ G(a,b^2)=0$ para todos $ a, b \in R^N $ lo que implica $ f (n, m^2) =0$ para todos $ n,m \in R^N $

Desde $\int f \, dx^N > 0$ basándose en el resultado anterior $ f> 0$

$\varphi (x, x^2)=\log (f (x, x^2)) $

$\varphi(x, x^2)+\varphi(y, y^2)=F (x+y, x^2+y^2)$

Así que $\varphi (x, x^2)+\varphi(y, y^2)=F(x+y,x^2+y^2)$

$$\varphi_1(x, x^2)=\varphi(x, x^2)-\varphi(0,0)$$

$$\varphi_1(y, y^2)=\varphi(y, y^2)-\varphi(0,0)$$

$$F_1(x+y,x^2+y^2)=F(x+y,x^2+y^2)-F(0,0)$$

para que $\varphi_1(0,0)=F_1(0,0)=0$

$$\varphi_1(x, x^2) +\varphi_1(y, y^2)=F_1(x+y,x^2+y^2)$$

enchufe $y=0$ en la ecuación anterior y obtenemos $\varphi_1(x, x^2)=F_1(x,x^2)$ y de forma similar $\varphi_1(y, y^2)=F_1(y,y^2)$

Por lo tanto $\varphi_1(x,x^2) +\varphi_1(y,y^2)=\varphi_1(x+y,x^2+y^2)$

$$\varphi_1(u,v^2) =\varphi_1(u,0)+\varphi_1(0,v^2)$$

deje $f(u)=\varphi_1(u,0)$ y $g(v)=\varphi_1(0,v^2)$

$$f(a+b)=f(a)+f(b)$$

$$g(a+b)=g(a)+g(b)$$

Por solución de la ecuación funcional de Cauchy para funciones medibles: $f(u)=b\cdot u$ $\quad$ $g(v)=av^2$ $\quad$ y $\varphi_1(x,x^2)=ax^2+b\cdot x$ $\varphi(x,x^2)=\varphi_1(x,x^2)+\varphi(0,0)$ configure $\varphi(0,0)=c$

$\varphi(x,x^2)=ax^2+b\cdot x+c$ $\quad$

$f(x) = e^{ax^2+bx+c}=Ae^{ax^2+bx}$ donde $A=e^c$

Answer 5

Creo que ésta es una respuesta más completa y elemental considerando que la ecuación funcional de Cauchy es elemental para funciones continuas, y mi respuesta es válida si se supone que la función es sólo medible (porque una función medible que satisface la funcional de Cauchy tiene que ser continua).

$$f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)=\varphi(x_1^2+\cdots+x_n^2)$$

intercambiando dos variables digamos $x_1$ y $x_2$ no cambia $\varphi$

$f_1(x_1)f_2(x_2)=f_1(x_2)f_2(x_1)$

elegir cualquier valor $k$ tal que $f_2(k) \neq 0$

$f_1(x_1)=vf_2(x_1)$ donde $v=\frac{f_1(k)}{f_2(k)}$

podemos escribir la ecuación $$f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)=\varphi(x_1^2+\cdots+x_n^2)$$ como

$$f(x_1)\cdots f(x_n)=\phi(x_1^2+\cdots+x_n^2)$$ donde hay una constante $K$ tal que $\phi(x_1^2+\cdots+x_n^2)=K\varphi(x_1^2+\cdots+x_n^2)$

$f$ no puede ser cero porque si digamos $f(a)=0$ entonces $\phi(a^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)=0$

$\phi(b^2)=0$ para todos $b^2 \ge a^2$

Ahora $f^n(x)=\phi(nx^2)$

si fijamos $x^2=\frac{a^2}{n}$ obtenemos $f^n(\sqrt{\frac{a^2}{n}})=\phi(a^2)=0$

así que $f(\sqrt{\frac{a^2}{n}})=0$ y como antes $\phi(\frac{a^2}{n}+x_2^2+\cdots+x_n^2)=0$

$\phi(c^2)=0$ para todos $c^2 \ge \frac{a^2}{n}$

continuando así se ve $\phi(d^2)=0$ para todos $d^2 > \lim_{i \to \infty}\frac{a^2}{n^i}=0$

Así que si $f(x)=0$ en un punto, es cero en todas partes excepto posiblemente en $x=0$ .

$$\phi(x^2)=f^{n-1}(0)f(x)$$

$$\phi(y^2)=f^{n-1}(0)f(y)$$

$$\phi(x^2)\phi(y^2)=f^{2n-2}(0)f(x)f(y)$$

pero $\phi(x^2+y^2)=f^{n-2}(0)f(x)f(y)$

$$\phi(x^2)\phi(y^2)=f^{n}(0)\phi(x^2+y^2)$$

$$\phi(0)=f^n(0)$$

$$\phi^2(x^2)=f^{n}(0)\phi(2x^2)$$

deje $f_1(x)=\log f(x)-\log f(0)$ , $\phi_1(x^2)=\log\phi(x^2)-\log\phi(0)$

$$log\phi(x^2+y^2)=(n-2) \log f(0) + \log f(x) + \log f(y) = n\log f(0) + f_1(x) + f_1(y)$$

$$\phi_1(x^2+y^2)=f_1(x)+f_1(y)$$

$$f_1(0)=\phi_1(0)=0$$

Es decir $f_1(x)=\phi_1(x^2)$

Tenemos $f_1(x^2+y^2)=f_1(x)+f_1(y)$ que es una ecuación funcional de Cauchy con solución $f_1(x)=cx^2$

Por lo tanto $f=Ae^{cx^2}$