Incrustaciones de haces de fibras

Question

Mientras leía GMTW - El tipo de homotopía de la categoría cobordismo ( https://arxiv.org/abs/math/0605249 p. 16) he encontrado el siguiente pasaje:

Lef $f:W\to \mathbb{R}$ sea la proyección. Entonces $(\pi_2,f):W\to X\times \mathbb{R}$ es correcto ya que hemos supuesto que $X$ es compacto. Para $n\gg d$ obtenemos una incrustación $W\subset X\times \mathbb R\times \mathbb R^{d-1+n}$ que levanta $(\pi_2,f)$ .

En este contexto, creo que $(\pi_2,f):W\to X\times \mathbb{R}$ es una inmersión, así que por el lema de Ehresmann es en realidad un haz de fibras. Sin embargo, no estoy seguro de dónde viene la incrustación. ¿Es alguna versión del teorema de Whitney que sirve para haces de fibras?

Answer 1

Creo que es más sencillo si $W$ se supone que es compacta. Para $n$ suficientemente grande, tienes una incrustación $\iota:W\to\mathbb{R}^{d-1+n}$ por el teorema de Whitney suponiendo que $W$ es compacto. Un mapa como $((\pi_2,f),\iota):W\to X\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{d-1+n}$ es un ejemplo del tipo reivindicado en la afirmación anterior. Si $W$ no es necesariamente compacta, pero se sabe que la fibra de $W\to X\times\mathbb{R}$ es compacta, entonces se puede aplicar una construcción similar en forma de fibra, ¡creo!