Un aspecto natural fórmula de la distancia

Question

La fórmula de la distancia en una dimensión es

$$D_1 = |x_2-x_1|$$

Desde el teorema de Pitágoras, la fórmula de la distancia en dos dimensiones es

$$D_2 = \sqrt{|x_2-x_1|^2 + |y_2-y_1|^2}$$

Ahora, en tres dimensiones, un estudiante podría inocentemente supongamos que

$$D_3 = \sqrt[3]{|x_2-x_1|^3 + |y_2-y_1|^3 + |z_2-z_1|^3}$$

sin embargo, el teorema de Pitágoras muestra lo contrario. Hay alguna intuición física detrás de las distancias definidas por $D_3$? Lo extraño tipo de regla que sería necesario para medir tal cosa?

Answer 1

En lugar de hablar acerca de las distancias de $D(x,y)$ es ligeramente más fácil hablar de normas $$N(x-y).$$

Su proponga $D_3$ se llama la $L_3$ norma y es parte de una familia de normas $$\|x\|_p = \left(|x_1|^p + \ldots + |x_n|^p\right)^{1/p}$$ llama la $L_p$ normas. Para $p\geq1$ que obedecer todas las propiedades necesarias para una norma: positivo distinto de cero para $x$, lineal bajo la multiplicación por escalares positivos, y satisfacer la desigualdad de triángulo.

$p=2$ es lo habitual en la norma Euclídea y se induce la habitual distancia Euclidiana. En una dimensión, todos los de la $L_p$ normas son equivalentes, por lo que es la razón por la que interpreta el $L_2$ norma como la $L_1$ norma.

Así que para responder a tu pregunta, nada va mal cuando se utiliza el $L_3$ norma. Usted obtener longitudes que están en algún lugar entre el uso de la costumbre, $L_2$ norma, y el $L_{\infty}$ o "max" de la norma que devuelve la magnitud de la componente más grande; como tal, componentes de un vector, que son pequeños en relación a los principales componentes tienden a ser ignorada por un $L_3$ regla.

Aquí está lo que el círculo unitario se vería el uso de esta norma: