$\sum a+b+c \sum \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \sum \frac{abc}{ab+bc+ca} \leq \sum a \sum b \sum c$

Question

Sea $a_i,b_i,c_i$ sea $>0$ ( $1 \leq i \leq n$ ). Entonces tenemos $$ \sum (a_i+b_i+c_i) \sum \frac{a_i b_i + b_i c_i + c_i a_i}{a_i+b_i+c_i} \sum \frac{a_i b_i c_i}{a_i b_i+b_i c_i + c_i a_i} \leq \sum a_i \sum b_i \sum c_i $$

Este es el problema nº 68 de la Desigualdad de Hardy, Polya y Littlewood. Se puede demostrar utilizando la convexidad (véase por ejemplo http://www.win.tue.nl/~gwoegi/papers/cauchy.pdf ) pero me gustaría ver una prueba elemental de esta desigualdad. El problema se encuentra en el capítulo que trata de las medias elementales y las desigualdades asociadas (como la media aritmético-geométrica, las desigualdades de Hölder y Minkowski, ...). Así que debería haber una derivación elemental de esta desigualdad a partir de algún otro resultado conocido. Por supuesto, podemos reescribir la prueba que se basa en la convexidad, pero esto es hacer trampa. Por ejemplo, es fácil demostrar por inducción que $$ \sum \frac{a_i b_i + b_i c_i + c_i a_i}{a_i+b_i+c_i} \leq \frac{\sum a_i \sum b_i+ \sum b_i \sum c_i + \sum c_i \sum a_i}{\sum a_i+b_i+c_i}$$ y $$ \sum \frac{a_i b_i c_i}{a_i b_i+b_i c_i+c_i a_i} \leq \frac{\sum a_i \sum b_i \sum c_i}{\sum a_i \sum b_i+ \sum b_i \sum c_i + \sum c_i \sum a_i}$$ por lo que obtenemos el resultado, pero sabíamos que estas desigualdades eran ciertas en primer lugar gracias a la convexidad.

Answer 1

Lema 1: \begin{equation} \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}b_{i}}{a_{i}+b_{i}}\le\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}b_{i} \tag{1}\end{equation} prueba: $$ \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}-\dfrac{4a_{i}b_{i}}{a_{i}+b_{i}}\right)\ge\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}-\dfrac{4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}b_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}} $$ $$\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n}\dfrac{(a_{i}-b_{i})^2}{a_{i}+b_{i}}\ge\dfrac{(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i}))^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})} $$ Es fácil utilizar $Cauchy-Schwarz$ ¡desigualdad!

Lema 2: \begin{equation} \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i}+c_{i})\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}+b_{i}c_{i}}{a_{i}+b_{i}+c_{i}}\le\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\sum_{i=1}^{n}c_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}c_{i} \tag{2}\end{equation}

prueba:
utilizando el Lemma 1, tenemos $$\sum_{i=1}^{n}((a_{i}+b_{i})+c_{i})\sum_{i=1}^{n}\dfrac{(a_{i}+b_{i})c_{i}}{a_{i}+b_{i}+c_{i}}\le(\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i})\sum_{i=1}^{n}c_{i}$$

y lo mismo que las otras dos desigualdades, y sumar estas tres desigualdades ¡ya está hecho!

Lema 3: \begin{equation} \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}c_{i}\sum_{i=1}^{n}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}c_{i}\right)\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}b_{i}c_{i}}{a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}+b_{i}c_{i}}\le \sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}b_{i}\sum_{i=1}^{n}c_{i} \tag{3}\end{equation}

prueba:
deje $t_{i}=\dfrac{c_{i}b_{i}}{b_{i}+c_{i}}$ y utilizando el Lemma 1, tenemos $$\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+t_{i})\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}t_{i}}{a_{i}+t_{i}}\le\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{i=1}^{n}t_{i}$$ y $$\sum_{i=1}^{n}(c_{i}+b_{i})\sum_{i=1}^{n}\dfrac{c_{i}b_{i}}{c_{i}+b_{i}}\le\sum_{i=1}^{n}c_{i}\sum_{i=1}^{n}b_{i}$$ Ahora es fácil probarlo.

y puedes $(1)\times (2)\times (3)$ que la igualdad lo demuestra con creces.