reescritura no lineal en forma lineal, ¿cómo transformar la pendiente y el intercepto?

Question

Esta es una pregunta bastante básica para todos ustedes estoy seguro, pero estoy haciendo algunas clases de introducción en la regresión lineal, donde estamos trabajando algunos datos que se ajusta a un modelo lineal como tal:

$$W_i = 10.386 - .038*G_i$$

Ahora se nos pide que evaluemos estos mismos datos utilizando un modelo no lineal:
$$ W_i = \gamma e^{\beta G_i} $$
donde se afirma que podemos reescribir esto en forma lineal tal que: $$ log(W_i) = \alpha + \beta G_i + \varepsilon_i $$ con con $G_i$ y $\alpha = log(\gamma)$

Dicho esto, nuestro modelo anterior se convierte en:
$$ W_i = 2.341 - 0.0038*G_i$ $$ He eliminado los términos de error para simplificar, pero todos estos se dan como correctos, y estoy teniendo problemas para averiguar por qué el término de intercepción fue onvertido de 10,386 a 2,341 (sé que sólo tomaron el logaritmo, pero ¿por qué?) Y por qué el término de pendiente pasó de 0,038 a 0,0038 (ni idea de por qué).

Agradecería cualquier idea/ayuda. Gracias.

EDIT--y en el caso de que sea necesario mirar los datos, esto es lo que parece (no estoy seguro del mejor formato para presentar esto aquí):

Juego <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
WinningTime <- c(10.3, 10.4, 10.5, 10.2, 10, 9.95, 10.14, 10.06, 10.25, 9.99 9.92, 9.96, 9.84, 9.87, 9.85)

Answer 1

No se puede convertir directamente el resultado de una regresión lineal en el resultado de una regresión exponencial. Lo que puedes hacer es transformar una ecuación exponencial en una ecuación lineal y luego puedes aplicar la regresión lineal.

$y_=\gamma\cdot e^{\beta \cdot G_i}$

$\ln(y_i)=\ln(\gamma)+\beta\cdot G_i$

Los valores de $\ln(y_i)$ son las siguientes:

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$$2,332143895\quad 2.341805806 \quad 2.351375257\quad 2.32238772\quad 2.302585093\quad 2.297572551\quad 2.316487998\quad 2.308567165\quad 2.327277706\quad 2.301584593\quad 2.294552921\quad 2.298577072\quad 2.286455711\quad 2.289499853\quad 2.287471455$$

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Los valores de $G_i$ puede utilizarse sin transformación. Cuando aplico la función RGP en Excel obtengo $\ln(\gamma)=2.340603915$ y $\beta=-0.003755949$ . Se pueden redondear si se desea.

Sólo queda volver a transformar la función ln.

$\ln(y_i)=2.340603915-0.003755949\cdot G_i$

$y_i=e^{2.340603915}\cdot e^{-0.003755949\cdot G_i}$

$$y_i=10.3875\cdot e^{-\large{0.003755949\cdot G_i}}\approx 10.388\cdot e^{-\large{0.0038\cdot G_i}}$$ No me importan las diferencias en las posiciones detrás del punto decimal, si es que existen. Siempre depende de cuántos decimales utilices en el cálculo.