Fácil cálculo de límites $\lim_{n\to +\infty} n(a^{1/n} -1)$

Question

Tengo que calcular el límite $\lim_{n\to +\infty} n(a^{1/n} -1)$ .

He descubierto que tiende a $a$ pero realmente no veo como probarlo con uno o 2 pasos... ¿Puede ayudarme?

Answer 1

Establecer $\dfrac1x=h$

$$F=\lim_{n\to\infty}n(a^{\frac1n}-1)=\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}h$$

Ahora, $a=e^{\ln a}\implies a^h=(e^{\ln a})^h=e^{h\ln a}$

$$\implies F=\ln a\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h\ln a}=?$$

Answer 2

Si $f(x)=a^x$ entonces $$ \log a=f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\lim_{n\to \infty}\frac{a^{1/n}-1}{1/n} =\lim_{n\to \infty}n(a^{1/n}-1). $$