¿Por qué no puedo utilizar aquí la Regla de L'Hospital?

Question

Encuentre $$\lim_{x \to \infty} \frac{x-\sin(x)}{x - \cos(x)}$$

Puede resolverse fácilmente dividiendo numerador y denominador por $x$ lo que lleva a responder como $1$ .

Ahora, mi duda es, ya que es de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ Puedo utilizar aquí la regla de L'Hopital, que conduce a

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1-\cos (x)}{1 + \sin (x)}$$

Ahora bien, según yo, este límite no existe porque $\sin(x)$ y $\cos(x)$ puede ser cualquier cosa en $[-1,1]$ en $\infty$ .

¿En qué me equivoco?

Answer 1

Muy sencillo: La regla de L'Hospital puede aplicarse en dos condiciones, que a menudo se olvidan:

• $f'(x)/g'(x)$ debe tener un límite,
• $g'(x)$ no debe desaparecer en alguna vecindad del punto en el que se va a calcular el límite (excepto en el propio punto).