Ayuda en un paso de integración en QFT por Lewis H. Ryder

Question

Hay un paso de integración que no puedo entender y es frustrante.

W $$ \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2} = \dfrac{\partial V}{\partial \phi} $$ y por el proceso de integración se supone que obtenemos (ec. 10.8 en el libro de texto) $$ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial\phi}{\partial x}\right) ^2 = V(\phi) $$

Tal vez lo esté complicando demasiado, pero no consigo entender cómo se hace esto.

$\phi =\phi(x,t)$ pero para este caso $\dfrac{\partial\phi}{\partial t}=0$ y $\phi$ se acerca a ceros de $V(\phi)$ cuando $x\rightarrow\pm\infty$ .

Entonces mi idea era integrar por $d\phi$ ambos lados para obtener el lado derecho de la ec. 10.8 y para el lado izquierdo intenté integrar por partes usando $$d\phi=\dfrac{\partial\phi}{\partial x}dx$$ pero no tengo éxito todavía, y además es que ni siquiera creo que lo que estoy haciendo sea correcto ya que es $V(\phi)$ y no $\phi$ que tiende a cero cuando $x\rightarrow \pm \infty$ .

Agradecería cualquier ayuda

Answer 1

Piensa en ello como en mecánica clásica. Reetiqueta $\phi$ a $x$ y $x$ a $t$ para $$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{dV}{dx}.$$ Esta es la segunda ley de Newton con $m = 1$ y un signo menos adicional. El resultado es la conservación de la energía con un signo menos, $$\frac12 v^2 - V(x) = E$$ y se demuestra de la misma manera. Presumiblemente, las condiciones de contorno fijadas $E = 0$ con el resultado deseado.

Answer 2

Otra forma posible que puede resultarle más clara es hacer lo siguiente:

Comience con

$$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{\partial V}{\partial \phi}.$$

Multiplicando lo anterior por $\partial \phi / \partial x$ y en movimiento $\partial V/\partial \phi$ al otro lado se obtiene

$$ \label{eq:1} \tag{**} \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} - \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial \phi} =0.$$

Nota: La primera expresión del lado izquierdo de la ecuación anterior puede expresarse de forma equivalente como $$ \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \equiv \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) ^2.$$

Combinando las piezas, podemos expresar la Ec. ( \ref {eq:1}) como

$$ \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 - V(\phi) \right) = 0. $$

Espero que puedas seguir adelante. Nota La constante de integración es cero según pág. 393 Lewis Ryder; QFT.