Preliminares: Hay muchas variaciones en los entornos en los que definimos las gavillas. A mí me interesan los detalles que vinculan la definición general que figura a continuación con la topología de Grothendieck que genera; en particular, la afirmación de que las láminas con respecto a una cobertura son lo mismo que las láminas con respecto a la cobertura de Grothendieck generada.
Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría (pequeña). No asuma $\mathcal{C}$ tiene retrocesos. Denotemos la incrustación de Yoneda de un objeto por $Yc$ .
El descenso puede expresarse de forma concisa en términos de subfunctores de incrustaciones de Yoneda. Decimos que una preforma $X$ satisface descenso con respecto a un subfunctor $\iota \colon F \hookrightarrow Yc$ si y sólo si la precomposición $-\iota \colon \lbrack \mathcal{C}^{\operatorname{op}}, Set \rbrack (Yc,X) \rightarrow \lbrack \mathcal{C}^{\operatorname{op}}, Set \rbrack (F,X)$ es un isomorfismo.
Cualquier conjunto de mapas $f:=\{ f_i \colon c_i \rightarrow c \}_I$ genera un subfunctor $\iota_f \colon Y_f \hookrightarrow Yc$ declarando $Y_f \bullet = \{ \alpha \colon \bullet \to c ~|~ \exists f_i ~ \alpha \mbox{ factors through } f_i \}$ . De este modo, podemos codificar el habitual " $X$ desciende por la cubierta $f$ " con " precomposición con $\iota_f$ es un isomorfismo ".
Un sitio es una categoría dotada de cobertura $\mathcal{J}$ asignar a cada objeto $c$ una colección de familias de cobertura $\mathcal{J}c$ que son conjuntos de mapas $f = \{ f_i \colon c_i \rightarrow c \}_I$ tales que las familias de cobertura son apoyado bajo pullback es decir $\forall f \in \mathcal{J}c,~\varphi \in \mathcal{C}(b,c)~ \exists g \in \mathcal{J}b: Y_g \hookrightarrow \varphi^*Y_f$ donde $\varphi^*Y_f$ es el pullback de $Y_f \hookrightarrow Yc$ a lo largo de la composición con $\varphi$ .
Entonces gavilla con respecto al emplazamiento $(\mathcal{C},\mathcal{J})$ es una prehoja $X \colon \mathcal{C}^{\operatorname{op}} \to Set$ descenso satisfactorio para todos los $Y_f$ .
Podemos generar un Cobertura Grothendieck $\mathcal{G}$ de cualquier cobertura (para cada $c$ intersect $\mathcal{G}_\lambda c$ todas estas coberturas $\mathcal{G}_\lambda$ y observe que la cobertura trivial que asigna todos los subconjuntos de mapas a $c$ como familias de cobertura es Grothendieck). Lo que no me queda claro es cómo, "Uno puede entonces demostrar que para cada cobertura, hay una única cobertura Grothendieck que tiene las mismas gavillas", como afirma la entrada de nLab para la cobertura.
Pregunta:
¿Cómo es que las gavillas con respecto a $\mathcal{G}$ son los mismos que los de $\mathcal{J}$ ? En particular, dado $X \in Sh(\mathcal{C},\mathcal{J})$ una cubierta $f \in \mathcal{J}$ y mapa $\varphi$ ; el soporte bajo pullback nos da $g \in \mathcal{J}$ con:
$ Y_g \overset{\iota}{\hookrightarrow} \varphi^*Y_f \overset{\iota_{\varphi^*Y}}{\hookrightarrow} Yb$
Que $X$ es una gavilla nos da la precomposición con $\iota_g = \iota_{\varphi^*Y}\iota$ es un isomorfismo. ¿Cómo implica eso la precomposición con $\iota_{\varphi^*Y_f}$ es un isomorfismo?
