Prueba de la proporción áurea con el límite de la sucesión de Fibonacci

Question

Sea $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ los números de Fibonacci, y $\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$

El ejercicio me pide que lo demuestre: $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi$ .

Lo siento como se puede proceder??

Answer 1

$$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \Rightarrow \frac{F_{n+1}}{F_n}=1+\frac{F_{n-1}}{F_n}$$

Sea $$x_n:= \frac{F_{n+1}}{F_n}$$

Entonces $$x_n=1+\frac{1}{x_{n-1}}$$

Ahora puede demostrar que $1 \leq x_n \leq 2$ y por inducción que

$$ x_1 \leq x_3 \leq x_5 \leq .. \leq x_{2n+1} \leq x_{2n} \leq x_{2n-2} \leq .. \leq x_2$$

De aquí se obtiene que $x_{2n-1}$ y $x_{2n}$ convergen, y puedes utilizar sus definiciones para obtener sus límites. Se demuestra que ambos límites son iguales, con lo que se obtiene el resultado deseado.

Answer 2

Sea $R_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$ . Desde: $$ F_n^2-F_{n-1}F_{n+1} = (-1)^n\tag{1}$$ (es fácil de demostrar por inducción) tenemos que: $$ \left|R_{n+1}-R_n\right|=\frac{1}{F_n F_{n+1}}, \tag{2}$$ de ahí $\{R_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy y $R_n$ converge a algún $L>1$ que satisfaga $L=1+\frac{1}{L}$ , ya que $R_n>1$ y $R_{n+1}=1+\frac{1}{R_n}$ .

Answer 3

Encuentre $\alpha,\beta$ tal que $F_0=\alpha+\beta$ y $F_1=\alpha\phi+\beta(1-\phi)$ y demostrar por inducción que $$F_n=\alpha\phi^n+\beta(1-\phi)^n.$$ A continuación, calcule el límite deseado (y utilice ese $|1-\phi|<1$ ).

Answer 4

Observe que $\phi^2=\phi+1$ o $\phi^{n+2}=\phi^{n+1}+\phi^n$