Sé que en un círculo unitario donde el radio es siempre uno, sen es igual a y y cos es igual a x. Pero ¿por qué utilizamos estos valores incluso cuando el radio o la hipotenusa del triángulo no es igual a uno? También decimos que sen(/2) = 1, pero esto sólo funciona si la hipotenusa del triángulo es uno. ¿Y si no lo es? ¿Alguien puede aclarar esta confusión?
P.D. Acabo de empezar a estudiar trigonometría.
Acabo de empezar a estudiar trigonometría.
Existe una clara diferencia entre el estudio de funciones como el seno y el coseno, dentro del ámbito de la Trigonometría o la Geometría Analítica, y el estudio de las funciones seno y coseno en el Cálculo (T.C.C. Análisis Real).
En Trigonometría o Geometría Analítica, lo más importante es que las definiciones parezcan sensatas. Por eso, en el ámbito de la Trigonometría o la Geometría Analítica, la dominio de las funciones seno y coseno son ángulos . Esto significa que puedes aplicar estas funciones en cualquier triángulo rectángulo arbitrario, independientemente de la longitud de la hipotenusa. Las funciones seno y coseno miden entonces la relación entre los catetos del triángulo rectángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Este enfoque hace que sentido .
En Cálculo, estos sensato definiciones son alterado para facilitar la resolución de tipos especiales de problemas, con los que probablemente aún no se ha encontrado y de los que no necesita preocuparse ahora mismo. Las modificaciones son contrario a la intuición . El dominio de las funciones seno y coseno son los números Reales, que como tu pregunta ha indicado, están estrechamente asociados con el círculo unitario.
Como alteración adicional, se le presenta la noción un tanto extraña y un tanto ambigua de radianes . Para un alumno en transición, acabará partiendo de la idea de que los radianes miden ángulos, y que $(360)$ grados es igual a $(2\pi)$ radianes. Se trata de un paso previo a la definición de las funciones seno y coseno en Cálculo, y se basa en la idea de que la circunferencia del círculo unitario es $(2\pi).$
A medida que complete la transición, de con respecto a funciones Trig en Geometría Analítica/Trigonometría, a las funciones Trig en Cálculo, el dominio de las funciones Trig deja de ser ángulos, y empieza a ser adimensional Números reales asociados a la longitud del arco .
Por ejemplo, $(45^\circ)$ corresponde a $(1/8)$ de una revolución, por lo que se considera equivalentemente como $(\pi/4)$ . Esto significa que en Cálculo $\sin(\pi/4) = (1/\sqrt{2}).$ Tenga en cuenta que he dicho $\sin(\pi/4)$ en lugar de $\sin(\pi/4)$ radianes .
La razón por la que estás confundido es que estás atrapado en la brecha entre la Geometría Analítica/Trigonometría, donde no existe el radián y los ángulos se miden en grados, y el Cálculo.
La confusión es aún mayor. Cuando se le presenta por primera vez el término radian es natural considerar que se refiere a un ángulo. En cálculo, extrañamente, un radián se refiere a la proporción adimensional entre una determinada longitud de arco y la longitud de arco de una revolución completa, a saber $(2\pi)$ .
Así, cuando un estudiante de Cálculo utiliza el término radianes, está pas se refiere a un ángulo, sino que se refiere al adimensional proporción entre una determinada longitud de arco de un círculo unitario y la circunferencia del círculo unitario. Esto significa que para un estudiante de Cálculo, las ecuaciones $\sin(\pi/4) = (1/\sqrt{2})$ y $\sin(\pi/4) ~\text{radians}~ = (1/\sqrt{2})$ son ecuaciones equivalentes .
Es imposible que todo esto no te confunda, como me confundió a mí. Lo mejor, para aclarar la situación en tu mente, es explicar tu confusión a un profesor universitario de Matemáticas, en lugar de a un profesor de Matemáticas de secundaria, y que el profesor te explique las cosas.
Las funciones coseno y seno están definidas en la circunferencia unitaria. La razón de esto es que cuando se trabaja con triángulos semejantes a menudo se quiere averiguar su escala relativa y el número más fácil por el que multiplicar es $1$ . Entonces, si la longitud de la hipotenusa es $r$ Puedo decir que los lados horizontal y vertical son exactamente $r$ veces el coseno y $r$ veces el seno, respectivamente. Si se definiera, por ejemplo, en el círculo de radio $2$ entonces tendríamos que dividir todo por $2$ y complica innecesariamente el cálculo.
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