Prueba de Wald para la varianza de una distribución normal

Question

Sea $y_1, y_2,...,y_t$ seguir un $N(0,\sigma^2)$ distribución. [Observa que la media es cero y sabes que es cero]. Derive las pruebas de hipótesis LR, LM y Wald $\sigma^2 = 1$ .

Tengo el MLE, las estimaciones restringidas y no restringidas. Me preocupa especialmente la prueba de Wald. Para ello, necesitamos la distribución de $\sigma^2$ ¿Verdad? ¿Se distribuirá normalmente? Lo dudo. Al menos necesito la varianza de $\sigma^2$ ¿Verdad? O más bien la varianza de la estimación MLE de $\sigma^2$ . ¿Qué sería eso?

Se agradece cualquier ayuda.

Saludos Ash

Answer 1

El estadístico general de Wald para las pruebas $H_0: \theta = \theta_0$ viene dada por $$\frac{(\hat{\theta} - \theta_0)^2}{Var(\hat{\theta})},$$ por lo que se desea la varianza de $\hat{\sigma^2}$ la MLE para $\sigma^2$ .

Ya ha deducido que $$\hat{\sigma^2} = \frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t (Y_i - 0)^2 = \frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t Y_i^2$$ (normalmente tendríamos $\bar{Y}$ en lugar de $0$ en el medio, pero usted nos dijo que la media se sabía que era $0$ ), por lo que la varianza de $\hat{\sigma^2}$ es $$Var\left(\frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t Y_i^2\right) = \frac{1}{t^2} Var\left(\sum_{i = 1}^t Y_i^2\right),$$ porque $Var(aX) = a^2Var(X)$ para cualquier constante $a$ .

Cada variable aleatoria independiente $Y_i \sim N(0, \sigma^2)$ Así que $Y_i / \sigma^2 \sim N(0, 1)$ . Por lo tanto $$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i = 1}^t Y_i^2 = \sum_{i = 1}^t \frac{Y_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(t)$$ Así que $$Var(\chi^2(t)) = 2t = Var\left(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i = 1}^t Y_i^2\right) = \frac{1}{\sigma^4} Var\left(\sum_{i = 1}^t Y_i^2 \right).$$ Uniendo todo esto obtenemos $$Var(\hat{\sigma^2}) = \frac{1}{t^2} 2t\sigma^4 = \frac{2\sigma^4}{t},$$ por lo que el estadístico de Wald sería $$\frac{\left(\frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t Y_i^2 - \sigma_0^2 \right)^2}{2\sigma_0^4/t},$$ y bajo $H_0$ puede aproximarse mediante $\chi^2(1)$ distribución.