Derivada exterior de a $0$ -forma

Question

Sea $n\in\mathbb{N}$ , $f \in F_1(\mathbb{R}^n)$ digamos, $$f = \sum_{j=1,...,n}f_jdx_j,$$ con $df=0$ . Definir para cada $x\in\mathbb{R}^n$ , $$u(x)=\sum_{j=1,...,n}\int_{[0,1]}f_j(tx)p_j(x)dt$$ ( $p_j$ son proyecciones). Entonces $u \in F_0(\mathbb{R}^n)$ y $du=f$ .

Me parece que está claro $u$ es un $0$ -forma, ¿correcto? Ahora, lo que (creo que) puedo hacer hasta ahora es $$du = d\sum_{j=1,...,n}\int_{[0,1]}f_j(t-)p_j(-)dt = \sum_{j=1,...,n}d\int_{[0,1]}f_j(t-)p_j(-)dt =$$ $$ \sum_{j=1,...,n}\sum_{k=1,...,n}\partial_k(\int_{[0,1]}f_j(t-)p_j(-)dt)dx_k = \sum_{j=1,...,n}\sum_{k=1,...,n}\int_{[0,1]}\partial_k(f_j(t-)p_j(-))dtdx_k =$$ $$\sum_{j=1,...,n}\sum_{k=1,...,n}\int_{[0,1]}(t(\partial_k(f_j))(t-)p_j(-)+f_j(t-)\partial_k(p_j)(-))dtdx_k = ...$$

¿Sigo bien aquí o me he desviado? Si soy bueno, ¿cómo continúo? ¿Estoy complicando las cosas más de lo que son?

Además, me doy cuenta de que la hipótesis es que $$0 = df = \sum_{j=1,...,n}\sum_{k=1,...,n} \partial_k(f_j) dx_k \wedge dx_j.$$

Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, su $f$ es un $1$ -y no una $0$ -forma, así que supongo que querías decir $f \in F_1(\Bbb R^n)$ (una notación más común para $F_k$ es $\Omega^k$ ). Sí, su $u$ es un $0$ -forma, como $0$ -no son más que funciones suaves (con entradas nulas).

Tenga en cuenta que ${\rm d}f = 0$ es equivalente a la condición $\partial f_j/\partial x_i = \partial f_i/\partial x_j$ para cada posibilidad de $i$ y $j$ . Usaré esto en el paso en rojo a continuación. Queremos comprobar que $\partial u/\partial x_i = f_i$ .

Sólo tienes que calcular $$\begin{align}\frac{\partial u}{\partial x_i}(x) &= \frac{\partial}{\partial x_i} \sum_{j=1}^n \int_0^1x_jf_j(tx)\,dt \\ &= \sum_{j=1}^n \int_0^1 \frac{\partial x_j}{\partial x_i}f_j(tx)+ x_j \frac{\partial}{\partial x_i} (f_j(tx))\,dt \\ &= \sum_{j=1}^n \int_0^1 \delta_{ij}f_j(tx) + x_j\left(t\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(tx)\right)\,dt\\ &= \int_0^1 f_i(tx)\,dt+ \int_0^1 t \left(\sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial f_j}{\partial x_i}(tx)\right)\,dt \\ &= \int_0^1 f_i(tx)\,dt+ \int_0^1 t \left(\sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial f_{\color{red}{i}}}{\partial x_{\color{red}{j}}}(tx)\right)\,dt .\end{align}$$ Ahora, integramos lo que queda por partes, observando que $tf_i(tx)\big|_0^1 = f_i(x)$ : $$\frac{\partial u}{\partial x_i}(x) = \int_0^1f_i(tx) \,dt + f_i(x) - \int_0^1f_i(tx) \,dt = f_i(x),$$ como quería. La integración por partes se realiza teniendo en cuenta que $$\sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(tx) = \frac{d}{dt} (f_i(tx)).$$