Demostrar que $U$ es $\mathcal{A}-\mathcal{B}([0,1])$ mensurable.

Question

Supongamos que nos encontramos en el siguiente contexto:

donde el conjunto de cilindros es $\left[\omega_1,...,\omega_n \right]=\{ \omega' \in \Omega: \omega'_i=\omega_i \}$ .

Quiero demostrar que $U$ es $\mathcal{A}-\mathcal{B}([0,1])$ mensurable. No puedo utilizar ningún teorema de convergencia como el SES de Lebesgue.

No tengo ni idea de por dónde empezar. Tal vez para demostrar que esta función es continua, pero qué distancia usaría, y cómo lo demostraría....

Answer 1

Pistas:

1. Demuestra que $X_n$ es $\mathcal{A}/\mathcal{B}([0,1])$ -medible para cada $n \geq 1$ .
2. En el paso 1, $$U_k(\omega) := \sum_{n=1}^k X_n(\omega) 2^{-n}$$ es $\mathcal{A}/\mathcal{B}([0,1])$ -medible para todos $k \geq 1$ y, por lo tanto $$U(\omega) = \lim_{k \to \infty} U_k(\omega)$$ es $\mathcal{A}/\mathcal{B}([0,1])$ -medible.

Answer 2

El SES de Lebesgue no es aplicable aquí ya que no estamos buscando la convergencia de integrales.

Una forma de demostrar la mensurabilidad es metrizar el espacio de $\{0,1\}$ con la siguiente métrica $d : \{0,1\}^{\mathbb{N}} \to [0,\infty)$ , \begin{align*} d(a,b) = 2^{-n(a,b)} \end{align*} donde $n(a,b)$ es el primer número entero $n$ en el que las dos cuerdas $a$ y $b$ difieren. Entonces se puede demostrar que los conjuntos abiertos inducidos por esta métrica generan el mismo $\sigma$ álgebra como la generada por los conjuntos de cilindros que mencionas.

A partir de aquí es fácil comprobar que el mapeo que mencionas de expansiones binarias a números reales en $[0,1]$ es continua con respecto a la métrica dada anteriormente (también debes verificar que es una métrica). Por lo tanto, la cartografía es mensurable.

Answer 3

Bueno, voy a publicar una respuesta con los detalles de la respuesta de Daniel.

queremos $\displaystyle \forall_{y \in \Omega} \forall_{\epsilon>0} \exists_{\delta>0}\forall_{x \in \Omega} x\in B_{\delta}(y)\implies |U(x)-U(y)|<\epsilon$

Para $x\neq y$ , $x\in B_{\delta}(y)\Leftrightarrow d(x,y)=2^{-k}<\delta$ y

$\displaystyle |U(x)-U(y)|<\sum^{\infty}_{i=k+1}2^{-i}=2^{-k}$ desde la primera $k$ términos de la suma son iguales. Por tanto, si elijo $\delta=\epsilon$ entonces tenemos $ x\in B_{\delta}(y)\implies |U(x)-U(y)|<\delta=\epsilon$