Tengo problemas para entender cómo resolver esta cuestión.
Prueba por inducción: $n 5, 2^n + 2n < n!$
No entiendo como han conseguido esos escalones que resalto en la imagen que adjunto a continuación.
Se agradece cualquier ayuda.
Gracias.
Respuestas
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dcolazin
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Estás asumiendo $2^k + 2k < k!$ y tratando de probar $2^{k+1} + 2(k+1) < (k+1)!$ . Porque estás asumiendo $2^k + 2k < k!$ entonces $$2^k + 2k < k! \Rightarrow 2(2^k + 2k) < 2(k!) \Rightarrow 2(2^k + 2k) +2 < 2(k!) + 2$$
y este es el primer paso destacado.
Para el segundo, porque $k\geq 5$ (así $k>2$ ):
$$2(k!)+2 < 2(k!) + k! < 3(k!) < (k+1)(k!)$$
Rick
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21
Así que primero, tenemos que entender lo que uno realmente hace, en la inducción primero suponemos que la hipótesis es verdadera para alguna iteración $k$ y luego demostrar que también se cumple para $k+1$ . Después de haber comprobado algún valor en particular y seguido el paso anterior, la inducción dice que la afirmación es cierta para cualquier iteración.
Tenemos: $\forall\ n\ge 5$ W.T.S. $2^n+2n < n!$ . En primer lugar, veamos que para $n= 5, 2^5 + 2\cdot 5 = 32+10 = 42 < 5! = 120$ . Por tanto, la afirmación es cierta para algún valor, a saber $5$ . A continuación, suponemos que es cierto para $n = k$ y tratar de mostrar por $n =k+1$ .
$2^{k+1}+ 2(k+1) = 2\cdot 2^k + 2k +2 < 2(2^k+2k)+2 < 2k! + 2$ (porque asumimos que esa afirmación es cierta para $k$ ) $< 2k! + k!$ (ya que $k\ge 5$ ) ¡<3k! ¡< (k+1)! De ahí que demostremos la afirmación para $n =k+1$ y por lo tanto es cierto para todos $n$ por inducción.
Espero que esto ayude.
